Dejar
(donde se considera codificado en binario). Entonces, ¿qué podemos decir sobre la complejidad computacional de ? Está claro que . Y si no me equivoco, los sorprendentes algoritmos de "tipo BBP" para calcular el bit de usando el tiempo cuasilineal y la memoria , sin necesidad de calcular los bits anteriores, producen .L L ∈ E X P n t h π ( log n ) O ( 1 ) L ∈ P S P A C E
¿Podemos hacerlo aún mejor y colocar (por ejemplo) en la jerarquía de conteo? En la otra dirección, ¿hay algún resultado de dureza para (incluso uno extremadamente débil, como -hardness)?L T C 0
Un lenguaje relacionado interesante es
(donde nuevamente, está escrito en binario). Tenemos
y por lo tanto ; Me interesaría mucho si se supiera algo mejor.
cc.complexity-theory
na.numerical-analysis
Scott Aaronson
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Respuestas:
Bien, James Lee me ha señalado este artículo de 2011 de Samir Datta y Rameshwar Pratap, que demuestra que mi lenguaje (que codifica los dígitos de ) está en el cuarto nivel de la jerarquía de conteo ( ; gracias a SamiD a continuación por señalar un falta en el documento, ¡que simplemente repetí en mi respuesta! ) El documento también discute explícitamente mi cuestión de límites inferiores sobre la complejidad de calcular los dígitos binarios de números irracionales, aunque solo logra demostrar un límite inferior muy débil para calcular los dígitos binarios de números racionales . Esto es exactamente lo que estaba buscando.π P H P P P P P P P PL π PHPPPPPP PP
Actualización (3 de abril): una consecuencia divertida de que los dígitos de sean computables en la jerarquía de conteo es la siguiente. Suponga que es un número normal (cuya expansión binaria converge rápidamente a "efectivamente aleatoria"), y suponga que (con la simulación que involucra solo una pequeña sobrecarga polinómica). Entonces sería factible programar su computadora para encontrar, por ejemplo, la primera aparición de los trabajos completos de Shakespeare en la expansión binaria de . Si eso le parece absurdo, entonces tal vez debería tomarse como evidencia adicional de que . :-)π P = P P π P ≠ P Pπ π P=PP π P≠PP
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