Coloración de gráficos minimizando la cantidad de colores en cada conjunto independiente

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¿Se conoce el siguiente reclamo?

Reclamación : Para cualquier gráfico con n vértices existe una coloración de G tal que cada conjunto independiente está coloreado como máximo por O ( GnGcolores.O(n)

Igor Shinkar
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Respuestas:

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Conozco la siguiente afirmación, pero es posible que no cuente porque no está publicada: cualquier gráfico en vértices puede colorearse de modo que cualquier subgrafía inducida H de número cromático a lo sumo k use como máximo colores χ ( H ) + B , donde B ( B + 1 ) 2 k n .nHkχ(H)+BB(B+1)2kn

Esta es una prueba por inducción; la motivación era considerar los colores que usan pocos colores no solo en el gráfico sino también en todos los subgrafos inducidos. Sin embargo, no conozco ningún resultado publicado.

Aravind
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No es exactamente lo que pide, pero aquí hay un límite inferior: un gráfico para el que cualquier coloración dará como resultado un conjunto independiente coloreado por colores:n

Tomar copias deKn , y conecta todos los vértices a un solo vértices.Kns

Obviamente, cada conjunto de vértices de diferentesK's son independientes, y en cada copia deKnK puede encontrar al menos un color "nuevo".Kn

Este límite inferior se puede mejorar fácilmente a o así si conectamosK1,K2,. . a un solo vértice, pero solo permaneceΩ(2nK1,K2,..colores.Ω(n)

RB
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El segundo ejemplo no parece mejorar el límite. Creo que cualquier IS puede ser coloreado usando . Por ejemplo, para n = 9,K1está coloreado de azul,K2de verde y rojo yK3de azul, verde y rojo. Cualquier IS máximo está coloreado por 2 colores, no 3.22n/3K1K2K3
user15669
No estoy seguro de lo que quieres decir. El segundo ejemplo mejora el límite, pero no asintóticamente. Puedes construir un ~ 2nK1K2KiG
K1K2K3
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t2n1+2++t=n
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α(G)nIGαIGI2,...,cKGK=KIKnαK1+nαnαn

Súper 8
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1+nn>nϵ>0(1+ϵ)n+Cϵ
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n2n
(en la solicitud de combinación de perfil) meta es un buen lugar para publicar dicha solicitud.
Suresh Venkat