¿Se conoce el siguiente reclamo?
Reclamación : Para cualquier gráfico con n vértices existe una coloración de G tal que cada conjunto independiente está coloreado como máximo por O ( √colores.
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¿Se conoce el siguiente reclamo?
Reclamación : Para cualquier gráfico con n vértices existe una coloración de G tal que cada conjunto independiente está coloreado como máximo por O ( √colores.
Conozco la siguiente afirmación, pero es posible que no cuente porque no está publicada: cualquier gráfico en vértices puede colorearse de modo que cualquier subgrafía inducida H de número cromático a lo sumo k use como máximo colores χ ( H ) + B , donde B ( B + 1 ) ≤ 2 k n .
Esta es una prueba por inducción; la motivación era considerar los colores que usan pocos colores no solo en el gráfico sino también en todos los subgrafos inducidos. Sin embargo, no conozco ningún resultado publicado.
No es exactamente lo que pide, pero aquí hay un límite inferior: un gráfico para el que cualquier coloración dará como resultado un conjunto independiente coloreado por colores:
Tomar copias deK √ , y conecta todos los vértices a un solo vértices.
Obviamente, cada conjunto de vértices de diferentesK's son independientes, y en cada copia deK √ puede encontrar al menos un color "nuevo".
Este límite inferior se puede mejorar fácilmente a o así si conectamosK1,K2,. . a un solo vértice, pero solo permaneceΩ( √colores.
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