Complejidad de la comunicación para encontrar el elemento común de dos subconjuntos

Supongamos que Alice recibe un subconjunto y Bob recibe . Se promete que . ¿Cuál es la complejidad de la comunicación aleatoria para determinar el elemento común ? $S \subseteq \{1,\dots,n\}$ $T \subseteq \{1,\dots,n\}$ $\lvert S \cap T \rvert = 1$ $S \cap T$

Mi interés en esto es el siguiente. El costo de comunicación cero de este problema es ya que Alice y Bob pueden adivinar usando monedas públicas y abortar si adivinan mal. Sin embargo, no puedo pensar en un protocolo de comunicación de costo . Como no se sabe si el costo de comunicación cero es mucho menor que el costo de comunicación aleatorio, creo que me estoy perdiendo algo obvio aquí. $\log n$ $S \cap T$ $O(\log n)$

El costo de comunicación cero se define de la siguiente manera. Después de que Alice y Bob reciben sus aportes, no deben comunicarse en absoluto. Sin embargo, comparten monedas públicas y se les permite responder con "abortar". Si ninguna de las partes aborta, deben proporcionar la respuesta correcta con probabilidad. El costo de comunicación cero es el registro negativo de la probabilidad de no abortar. En arxiv: 1204.1505 se muestra (entre otras cosas) que casi todos los límites inferiores conocidos en la complejidad de la comunicación son, de hecho, límites inferiores para la comunicación cero. $2/3$

Actualización: @Shitikanth mostró que la complejidad de la comunicación es . Entonces, aparentemente esto da una brecha entre el costo de comunicación y el costo de comunicación cero. Pero arxiv: 1204.1505 parece dar la impresión de que no se conoce esa brecha. ¿Qué me estoy perdiendo? $\Omega(n)$

communication-complexity Dan Stahlke
fuente

"Alice y Bob pueden adivinar usando monedas públicas y abortar si adivinan mal". No creo que su definición de protocolos de comunicación cero permita a Alice y Bob abortar después de adivinar. Si ambos eligen responder, deben ganar con alta probabilidad.

S \cap T

$S\cap T$

Shitikanth

Perdón por el lenguaje descuidado. Para aclarar, eligen usando monedas públicas. Alice aborta si y Bob aborta si . Si ninguna de las partes aborta, responden . Este tipo de truco a veces se denomina "adivinar".

i \in {1, \dots, n}

$i \in \{1,\dots,n\}$

i \notin S

$i \not\in S$

i \notin T

$i \not\in T$

i

$i$

Dan Stahlke

Ahora entiendo lo que quieres decir. Sin embargo, ese es solo un posible protocolo de comunicación cero para este problema. Los autores describen otro protocolo que abortaría con probabilidad solo .

2^{- O (n)}

$2^{-O(n)}$

Shitikanth

arxiv: 1204.1505 muestra que el costo de cualquier posible protocolo de comunicación cero (ZC) con probabilidad de aborto uniforme (sobre las entradas) está limitado por casi todas las técnicas conocidas utilizadas para reducir el costo de comunicación límite. El protocolo que menciono tiene costo

\log n

$\log n$

Dan Stahlke

Respuestas:

(Reducción de la disyunción establecida)

Supongamos que Alice y Bob reciben los conjuntos con la garantía de que . Alice y Bob ejecutar el protocolo para encontrar el elemento común de y suponiendo que sus conjuntos tienen una intersección no trivial para decidir un elemento común . Ahora, pueden comunicarse entre sí para verificar que es de hecho común a y con bits. $S, T \subseteq [n]$ $|S\cap T| \leq 1$ $S$ $T$ $X$ $X$ $S$ $T$ $O(\log n)$

Por lo tanto, cualquier protocolo para encontrar el elemento común de y debe tomar bits de comunicación. $S$ $T$ $\Omega(n)$

Shitikanth
fuente

Si, por supuesto, gracias! Sabía que la respuesta debería involucrar desunión, pero no podía verla. Aunque, antes de cerrar la pregunta, me gustaría ver si alguien comenta sobre la aparente brecha entre la comunicación y el costo de comunicación cero.

Dan Stahlke

No estoy seguro de lo que quiere decir con costo de comunicación cero. ¿Puedes proporcionar un enlace o una referencia?

Shitikanth

Actualicé la pregunta con un enlace a un documento y también proporcionaré la definición del costo ZC.

Dan Stahlke

Pensándolo de nuevo con la mente despejada, esta reducción a la desunión realmente no funciona. El protocolo solo es necesario para responder con algo de

cuando

. Y no puedo modificar mi pregunta para permitir arbitraria

porque quiero que la probabilidad de aborto sea uniforme. Si esta es la raíz de la aparente brecha entre ZC y R, no lo sé.

S \cap T

$S \cap T$

| S \cap T | = 1

$\lvert S \cap T \rvert = 1$

| S \cap T | > 1

$\lvert S \cap T \rvert > 1$

Dan Stahlke

@DanStahlke hay un resultado de Razborov de que la complejidad de la comunicación aleatoria de la desunión del conjunto único también es

Ω (n)

$\Omega(n)$

Sasho Nikolov

La versión decisiva de su problema se puede escribir en la siguiente forma: Esto es muy similar al producto interno

mi Q (s_{1}, t_{1}) \lor mi Q (s_{2}, t_{2}) \lor \dots \lor mi Q (s_{norte}, t_{norte}) .

$EQ(s_1,t_1)\lor EQ(s_2,t_2)\lor \dots \lor EQ(s_n,t_n).$

X_{1} y_{1} \lor X_{2} y_{2} \lor \dots \lor X_{norte} y_{norte} .

$x_1y_1\lor x_2y_2\lor\dots\lor x_ny_n.$ La complejidad de la comunicación de esos dos problemas es equivalente, ya que la igualdad se puede hacer a un costo de comunicación aleatorio constante.

Además, encontrar un tal que es al menos tan difícil como la versión decisiva del problema. Por lo tanto, su problema es tan difícil como resolver cuando solo se satisface una cláusula. No tengo ninguna prueba directa, pero mi intuición me permite creer que con sólo 1 cláusula satisfecho es tan duro como en general . Entonces, la complejidad aleatoria de su problema estaría en si no me equivoco. $i$ $s_i=t_i$ $IP$ $IP$ $IP$ $\Theta(n)$

Espero que esto ayude.

Philippe Lamontagne
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-3

El protocolo más rápido que se me ocurre es el intercambio alternativo de un par de elementos adyacentes al azar, tirando cosas que se omiten.

Alice [1,10,26,49,50] Bob [2,3,25,49,51]

El par adyacente de Alice es [10,26] así que Bob tira 25

Alice [1,49,50] Bob [2,3,49,51]

Bob par adyacente es [3,49] partido en 49, así que alto

Chad Brewbaker
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