Número de partición de protocolo y complejidad de comunicación determinista

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Además de la complejidad de comunicación (determinista) de una relación , otra medida básica para la cantidad de comunicación necesaria es el número de partición de protocolo . La relación entre estas dos medidas se conoce hasta un factor constante. La monografía de Kushilevitz y Nisan (1997) daRdodo(R)R pagspags(R)

dodo(R)/ /3Iniciar sesión2(pagspags(R))dodo(R).

Con respecto a la segunda desigualdad, es fácil dar (una familia infinita de) relaciones con .log 2 ( p p ( R ) ) = c c ( R )Rlog2(pp(R))=cc(R)

Con respecto a la primera desigualdad, Doerr (1999) demostró que podemos reemplazar el factor en el primer límite por . ¿En cuánto puede mejorarse el primer límite, si es que lo hace? c = 2.223c=3c=2.223

Motivación adicional de la complejidad descriptiva: mejorar la constante dará como resultado un límite inferior mejorado en el tamaño mínimo de expresiones regulares equivalente a un DFA dado que describe un lenguaje finito, ver Gruber y Johannsen (2008). 2.223

Aunque no está directamente relacionado con esta pregunta, Kushilevitz, Linial y Ostrovsky (1999) dieron relaciones con , donde es El número de partición del rectángulo .Rcc(R)/(2o(1))Iniciar sesión2(rpags(R))rpags(R)

EDITAR: Observe que la pregunta anterior es equivalente a la siguiente pregunta en la complejidad del circuito booleano: ¿Cuál es la constante óptima tal que cada fórmula booleana DeMorgan de tamaño de hoja L se pueda transformar en una fórmula equivalente de profundidad como máximo ?dodoIniciar sesión2L

referencias :

  • Kushilevitz, Eyal; Nisan, Noam: Complejidad de comunicación. Cambridge University Press, 1997.
  • Kushilevitz, Eyal; Linial, Nathan; Ostrovsky, Rafail: La conjetura de matriz lineal en la complejidad de la comunicación es falsa, Combinatorica 19 (2): 241-254, 1999.
  • Doerr, Benjamin: Complejidad de la comunicación y número de partición del protocolo, Informe técnico 99-28, Berichtsreihe des Mathematischen Seminars der Universität Kiel, 1999.
  • Gruber, Hermann; Johannsen, Jan: Límites inferiores óptimos en el tamaño de expresión regular utilizando la complejidad de la comunicación. En: Fundamentos de la Ciencia del Software y las Estructuras de Computación 2008 (FoSSaCS 2008), LNCS 4962, 273-286. Saltador.
Hermann Gruber
fuente
No conocía la segunda referencia, e intenté buscarla en Google y no encontré una versión en línea. ¿Tienes un enlace?
Marcos Villagra
¿Es esta la página de inicio del autor? mpi-inf.mpg.de/~doerr
Marcos Villagra
Sí, esta es la página de inicio del autor. Parece que el enlace citeseerX que utilicé para descargar el documento desapareció. Puede preguntar en su biblioteca si pueden obtener una copia impresa; pero puede ser mejor preguntarle al autor si está dispuesto a ponerlo en su página de inicio o en arxiv.
Hermann Gruber
2
Lo único reciente que podría ser útil que conozco es este documento lab2.kuis.kyoto-u.ac.jp/~kenya/MFCS2010.pdf .
Hartmut Klauck
2
Realmente no entiendo por qué estás ofreciendo la recompensa. ¿Quieres una constante más pequeña en lugar de 3? Usted mismo cita el documento de Doerr donde está mejorado a 2.223 ...
domotorp

Respuestas:

10

Ok, déjenme intentar probar que dos es suficiente, eso es . Lo siento, pero a veces escribo hojas en lugar del número de hojas / pp (R), siempre que el número sea menor que 1, obviamente quiero decir esto. Además, generalmente escribo <en lugar de para mejorar la legibilidad sin texto.dodo(R)2Iniciar sesión2(pagspags(R))

Indirecta suponga que hay una R para la cual esto no es cierto y tomemos la R con la menor pp (R) posible que viole la desigualdad. Básicamente, tenemos que demostrar que usando dos bits, podemos reducir a la mitad el número de hojas en los cuatro resultados del árbol de protocolos, luego terminamos usando la inducción.

Denote el posible conjunto de entradas de Alice por X y de Bob por Y. Tome el centro del árbol de protocolo que logra las hojas pp (R), es decir, el nodo que elimina el árbol en tres partes, cada una con un máximo de 1/2 de las hojas pp (R), y denotan las entradas correspondientes por X0 e Y0. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que Alice habla en el centro y dice si su entrada pertenece a XL o XR, cuya unión disjunta es X0. Denote la razón de las hojas a pp (R) en XL Y0 por L, en XR Y0 por R y en el resto por D. Ahora dividimos el resto en tres partes más, de manera similar a Doerr, que denota las hojas cuyo rectángulo se cruza Y0 X por A, cuyo rectángulo se cruza X0×××× Y por B y el resto por C. Observe que A + B + C = D.

Ahora sabemos que L + R> 1/2, L, R <1/2 y sin pérdida de generalidad podemos suponer que L es como máximo R. También sabemos que D = A + B + C <1/2. De ello se deduce que 2L + A + B <1, de los cuales sabemos que L + A <1/2 o L + B <1/2, estos serán nuestros dos casos.

Caso L + A <1/2: Primero Bob dice si su entrada pertenece a Y0 o no. Si no, tenemos como máximo D <1/2 hojas restantes. Si es así, Alice dice si su entrada pertenece a XR o no. Si no, tenemos como máximo L + A <1/2 hojas restantes. Si lo hace, entonces tenemos R <1/2 hojas restantes.

Caso L + B <1/2: Primero Alice dice si su entrada pertenece a XR o no. Si lo hace, Bob le dice si pertenece a Y0 o no, dependiendo de esto tenemos hojas R o B restantes. Si la entrada de Alice no está en XR, Alice le dice si su entrada está en XL o no. Si es así, entonces tenemos L + B <1/2 hojas restantes. Si no, tenemos como máximo D <1/2 hojas restantes.

En todos los casos hemos terminado. Déjame saber lo que piensas.

domotorp
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1
2L+UNA+si1L+R+UNA+si+do=1do0 0LR
3

do2do1,73

Referencias

Stasys Jukna. Complejidad de la función booleana: avances y fronteras. Springer, 2012.

VM Khrapchenko. Sobre una relación entre la complejidad y la profundidad. Metody Diskretnogo Analiza en Synthezis of Control Systems 32: 76–94, 1978.

Hermann Gruber
fuente
1
Este capítulo trata sobre las fórmulas y no sobre la complejidad de la comunicación, pero las pruebas son realmente similares. ¿Son equivalentes estos problemas?
domotorp
Sí, estos problemas son equivalentes. La prueba es a través de los juegos Karchmer-Wigderson. Ver, por ejemplo, el Teorema 3.13 en el libro de Jukna. (Observe que la equivalencia se cumple para las fórmulas de DeMorgan, no para las fórmulas booleanas generales sobre la base completa).
Hermann Gruber
En los juegos KW, el objetivo es encontrar una coordenada diferente si la promesa es que f (x) difiere de f (y), por lo que es bastante diferente de la complejidad de la comunicación en general.
domotorp