Determinantes y multiplicación matricial: similitud y diferencias en la complejidad algorítmica y el tamaño del circuito aritmético

Estoy tratando de entender la relación entre la complejidad algorítmica y la complejidad del circuito de los determinantes y la multiplicación de matrices.

Se sabe que el determinante de una matriz se puede calcular en el tiempo , donde es el tiempo mínimo requerido para multiplicar dos matrices. También se sabe que la mejor complejidad del circuito de los determinantes es polinomial en la profundidad y exponencial en la profundidad 3. Pero la complejidad del circuito de la multiplicación de matrices, para cualquier profundidad constante, es solo polinomial. $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$

¿Por qué hay una diferencia en la complejidad del circuito para los determinantes y la multiplicación de matrices, mientras se sabe que desde la perspectiva del algoritmo el cálculo de determinantes es similar a la multiplicación de matrices? Específicamente, ¿por qué las complejidades del circuito tienen una brecha exponencial en la profundidad- ? $3$

Probablemente, la explicación es simple pero no la veo. ¿Hay alguna explicación con 'rigor'?

También busque en: La fórmula más pequeña conocida para el determinante

algebraic-complexity arithmetic-circuits matrix-product determinant T ....
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Respuestas:

Considere el problema del valor del circuito y la evaluación de la fórmula booleana para varias clases de complejidad pequeña. La complejidad de tiempo secuencial determinista de ellos es similar hasta donde sabemos, pero son muy diferentes desde la perspectiva de la complejidad del circuito. La similitud en un tipo particular de recurso en un modelo no implica similitud para otros recursos en otros modelos. Un problema puede ser tal que podemos explotar la computación paralela para uno mientras que no podemos hacer eso para otro, pero su complejidad de tiempo secuencial puede ser la misma.

¿Cuándo podemos esperar una relación más sólida entre la complejidad de dos problemas entre modelos y recursos diferentes? Cuando son una reducción robusta entre ellos en ambas direcciones que respeta los recursos en esos modelos.

Editar: la multiplicación tiene una profundidad de tamaño subexponencial de 3 circuitos. Probar un límite inferior de ese tipo como determinante demostraría que no está en separándolo de que no se conoce. $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

Kaveh
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"La multiplicación tiene un tamaño subexponencial de profundidad de 3 circuitos". Creo que la multiplicación tiene un tamaño de circuito a cualquier profundidad, ya que solo implica extraer variables y multiplicarlas en algún orden y agregar los productos intermedios.

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

T ....

La multiplicación de dos enteros está completa para y, por lo tanto, no está en .

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

Kaveh

Estoy mirando solo la complejidad secuencial por ahora.

T ....

No estoy seguro si sigo tu comentario. Creo que mi publicación responde a la pregunta en el entorno booleano (la pregunta no mencionaba los circuitos aritméticos originalmente del IIRC). Para la configuración del circuito aritmético no sé mucho, espero que otros respondan la pregunta.

Kaveh

Yo diría que la brecha en la configuración aritmética nos dice que la multiplicación de matrices es inherentemente una tarea mucho más paralela que el determinante. En otras palabras, si bien las complejidades secuenciales de ambos problemas están estrechamente relacionadas, sus complejidades paralelas no están tan próximas entre sí.

Un artículo relevante es Algoritmos de inversión de matriz paralela rápida de Csanky donde demuestra que la complejidad aritmética de calcular el determinante de una matriz (es decir, la profundidad de un circuito aritmético que calcula el determinante) satisface Que yo sepa, estos siguen siendo los límites más conocidos para este problema. Esto tiene que ser comparado con el circuito aritmético trivial de profundidad- que calcula una multiplicación matricial, dada por la fórmula . $D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

Bruno
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No sé si esto es una respuesta a "¿por qué las complejidades del circuito tienen una brecha exponencial en la profundidad-3?", Pero al menos tienes una prueba de este hecho en el artículo de Csanky.

Bruno

Si entiendo correctamente, estás insinuando: para tener un número polinómico de procesadores, ¿uno necesita profundidad logarítmica?

T ....

No recordaba el modelo exacto que usó Csanky. En realidad, está considerando lo que hoy llamamos circuitos aritméticos con fan-in acotado . Por lo tanto, el límite inferior es bastante trivial y mi comparación con la multiplicación de matrices no es relevante.

Bruno