Matriz de rigidez y usos de matrices con baja rigidez

Aproximadamente una matriz de rango se dice que es rígida, si se baja su rango a $n$ , uno tiene que cambiar al menosn1+ϵde sus entradas, para algunosϵ>0.$\frac{n}{2}$$n^{1+\epsilon}$$\epsilon > 0$

Si una matriz A es rígida, entonces el programa de línea recta más pequeño que computa A x ( x es un vector de tamaño n ) es un tamaño superlineal o tiene una profundidad super logarítmica.$n \times n$$A$$Ax$$x$$n$

¿Hay un inverso a la declaración anterior?

En otras palabras, ¿hay usos para matrices de baja rigidez no triviales y no obvias de rango completo en TCS?

¿Existe una noción de rigidez para las matrices con rangos más bajos (digamos para alguna constantec)?$\frac{n}{c}$$c$

sin una aclaración adicional de la pregunta, aquí hay un intento / bosquejo de una respuesta. la rigidez de la matriz tiene conexiones profundas con preguntas fundamentales en TCS / teoría de la complejidad, incluidos los límites inferiores del circuito, [1] y, por lo tanto, las separaciones de clase de complejidad y la teoría de codificación [2], así como otras áreas. [5] es una buena encuesta de diapositivas.

Los términos "bajo" y "alto" en referencia a la rigidez de las matrices se usan informalmente y no en un sentido técnico definido con precisión. [aunque Friedman definió la rigidez "fuerte". [6]] se sabe que las matrices aleatorias tienen una alta rigidez, pero básicamente, tiene un problema abierto de hace 3.5 décadas en esta área para construir explícitamente cualquier matriz con una rigidez "significativamente alta".

la pregunta no define / aclara los términos subjetivos "no trivial" o "no obvio" y tomará algo de libertad allí.

En esta área hay una línea de investigación que analiza la rigidez de las matrices de Hadamard que tienen usos / aplicaciones misceláneos en la teoría de codificación y en otros lugares.

parece justo decir que un resultado de alta rigidez demostrablemente superaría el umbral de conducir al menos a "nuevos corolarios no triviales en la teoría de la complejidad", pero los límites más conocidos en las matrices de Hadamard no son suficientes. [3] pero tampoco esto demuestra de manera concluyente que tienen una rigidez "baja" limitada. es básicamente la misma historia con las matrices de Vandermonde [también aplicaciones en teoría de codificación] consideradas por Lokam. [4]

así que para resumir todo lo que se puede decir es que se han probado "límites de rigidez inferiores débiles" en algunas matrices, incluidas las matrices Hadamard / Vandermonde.

tampoco parece haber ningún experimento numérico publicado, estimación o algoritmo en el área.

[1] Complejidad de la función booleana por Stasys Jukna, 2011, sec. 12.8 "las matrices rígidas requieren grandes circuitos"

[2] Sobre rigidez matricial y códigos autocorregibles localmente Zeev Dvir

[3] Límites inferiores mejorados en la ridiculez de las matrices Hadamard Kashin / Razborov

[4] Sobre la rigidez de las matrices de Vandermonde Lokam

[5] Charla de rigidez de la matriz de Mahdi Cheraghchi

[6] J. Friedman. Una nota sobre la rigidez de la matriz. Combinatorica, 13 (2); 235-239, 1993