NP-Completitud del problema de decisión para el 15 rompecabezas generalizado

Estoy interesado en la generalización natural del famoso 15-rompecabezas , donde tienes que deslizar bloques hasta que hayas ordenado todos los números dados (generalmente hay un espacio de 1 bloque).

Ahora la generalización sería extender el tamaño del rompecabezas de 15 a , donde un campo es libre. He creado una pequeña ilustración (las flechas punteadas muestran movimientos permitidos y la configuración inferior muestra el rompecabezas resuelto):$p \times q$

Dada una configuración inicial de un rompecabezas, me hago la siguiente pregunta:

Pregunta de decisión : Dado un rompecabezas de tamaño , y un número . ¿Hay una secuencia de o menos movimientos permitidos que transforman el rompecabezas en la configuración resuelta?$p \times q$$k \in \mathbb{N}$$k$

Ya investigué un poco y encontré el artículo " El -puzzle y problemas de reubicación relacionados$(n^2−1)$ " de 1990, que muestra que decidir mi pregunta para es NP-Complete y, por lo tanto, decidir que mi pregunta es NP -Completo (ya que el algoritmo general también podría decidir la pregunta para campos simétricos).$p=q$

La pregunta que queda abierta es si el problema de decisión también es NP-Completo para fijo . Estoy particularmente interesado en los casos especiales . También permanece abierto si permitir más espacios libres que un campo hace que el problema de decisión sea más difícil o más fácil.$q>1$$q=2,3$

Todos los artículos que pude encontrar lamentablemente omiten el caso asimétrico, por lo que creo que podría no haber resultados conocidos al respecto. Como la prueba en el artículo es bastante complicada y no se traduce en absoluto para una altura fija, espero que alguien presente una reducción / artículo diferente que responda algunas de las preguntas.

Otros artículos relacionados (para ampliar):

• http://larc.unt.edu/ian/pubs/saml.pdf
• http://red.cs.nott.ac.uk/~gxk/papers/icga2008_preprint.pdf
• http://erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3/

Creo que encontré una respuesta parcial (aunque bastante decepcionante) a mi problema:

Me topé con este artículo (2007):

" La complejidad del enrutamiento tridimensional de canales " por Satoshi Tayu y Shuichi Ueno

$p,q$$p \times q-1$

$k$$k \geq 2$

$p \times q-1$$k \geq 2$$k$

$p \times q-1$$k$$2$