Circuitos aritméticos con

Considere un circuito que toma como entradas números en , y tiene puertas que consisten en las funciones , , , y $[0,1]$ $\max(x, y)$ $\min(x, y)$ $1 - x$ . La salida del circuito también es un número en. $\frac{x+y}{2}$ $[0,1]$

¿Alguien sabe si este modelo, o un modelo estrechamente relacionado, ha sido estudiado?

Específicamente, estoy tratando de resolver el problema de satisfacción de este circuito, es decir, calcular el valor máximo que puede alcanzar este circuito (de hecho, alcanza un máximo, ya que representa una función continua en un dominio compacto).

Observación: mi estudio de este modelo es a través de lógicas temporales ponderadas, por lo que cualquier modelo relacionado con este último también podría ser útil.

arithmetic-circuits Shaull
fuente

Seguramente este problema es NP-hard. (Vía satisfacción: tiene

, con lo que puede hacer AND, OR y NOT.) Entonces, es su pregunta si este problema está o no en NP ? La pregunta de decisión de si dicho circuito tiene una entrada que produce el valor 1 parece estar en NP, ya que, si existe tal entrada, hay una que es 0/1.

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$

Neal Young

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

Emil Jeřábek

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Respuestas:

$C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

$\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ $n$

$m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

$O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

$\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

Emil Jeřábek
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Este problema es NP-hard.

Puede obtener 3-SAT con las puertas min ( x , y ), max ( x, y ) y 1− x .

Lo que queremos es reducir un problema de 3-SAT a un circuito para el que puede obtener 1 si todas las variables son satisfactorias, y de lo contrario solo puede lograr algo estrictamente menor que 1.

Podemos forzar que todas las variables sean 0 o 1 tomando un mínimo de muchas expresiones, y hacer que estas expresiones incluyan max ( x , 1− x ).

Ahora para cada cláusula en el problema 3-SAT x ∨ y ∨ z , ponemos la expresión max ( x , y , z ) en el mínimo.

No sé cuál es el valor óptimo para un problema 3-SAT no satisfactorio, pero será estrictamente menor que 1.

Peter Shor
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Sí, la dureza NP es la "dirección fácil", como se señaló en un comentario anterior. De hecho, si no utiliza la puerta promedio, pero solo min y max, es fácil demostrar que el valor máximo es 1 si el circuito booleano correspondiente es satisfactoria, y 1/2 de lo contrario (simplemente conectando 1/2 a todos las variables) De todos modos, el problema se resolvió en los comentarios anteriores.

Shaull

No es exactamente lo que pediste, sino un contexto en el que aparecen circuitos similares.

$1-x$

Yuval Filmus
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1 - x

$1-x$