Disculpas de antemano si esta pregunta es demasiado simple.
Básicamente, lo que quiero saber es si hay alguna función con las siguientes propiedades:
Tome como cuando el dominio y el codominio están restringidos a cadenas de bits. Luego
- es inyectiva
- es surjective
- requiere estrictamente menos recursos (espacio / tiempo / profundidad del circuito / número de compuertas) para calcular bajo un modelo razonable que , donde .
- La diferencia de recursos para vs escala como una función estrictamente creciente de .
Puedo encontrar ejemplos en los que la función sea sobreyectiva o inyectiva, pero no ambas, a menos que recurra a un modelo computacional artificial. Si elijo un modelo computacional que permite desplazamientos a la izquierda en unidad de tiempo en algún anillo, pero no desplazamientos a la derecha, entonces, por supuesto, es posible obtener una sobrecarga lineal (o superior si considera que una permutación más complicada es primitiva) . Por esta razón, solo me interesan los modelos razonables, por lo que me refiero principalmente a máquinas de Turing o circuitos NAND o similares.
Obviamente, esto debe ser cierto si , pero parece que esto también es posible si , por lo que no debería equivaler a decidir esa pregunta.
Es completamente posible que esta pregunta tenga una respuesta obvia o un obstáculo obvio para responder, lo que me he perdido.
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Respuestas:
Me pidieron que volviera a publicar mi comentario. Señalé este artículo de Hastad, que muestra que existen permutaciones en que son P-difíciles de invertir:norteC0 0
http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(87)90053-6 (PS)
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Para circuitos booleanos sobre una base binaria completa (siendo la medida de complejidad el número de puertas en un circuito mínimo), la relación más conocida para permutaciones C ( f - 1 )C( f) . Hasta donde yo sé, la mejor constante fue obtenida eneste trabajopor Hiltgen y es igual a 2.C( f- 1)C( f)= c o n s t
Editar. Como desea que la proporción aumente cuando crece, esto no responde a su pregunta. Sin embargo, para los circuitos booleanos sobre una base binaria completa, no se conoce nada mejor.norte
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En primer lugar, quería señalar que la surjectividad no está bien definida sin definir primero el codominio de la función. Entonces, en mi descripción a continuación, me referiré explícitamente al codominio sobre el cual la función es sobreyectiva.
Tanto el logaritmo discreto como las funciones RSA son permutaciones que se conjetura que son difíciles de invertir. A continuación, describiré la función de logaritmo discreto.
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