Longitud de borde más larga de la llave codiciosa en conjuntos de puntos distribuidos uniformemente en

Sea un conjunto de N puntos en R d . Para cualquier t ≥ 1 , un t -spanner es un gráfico no dirigido G = ( P , E ) ponderado bajo la medida euclidiana, de modo que para cualquiera de los dos puntos v , u , la distancia más corta en G , d ( v , u ) , es a lo sumo t veces la distancia euclidiana entre v y u , | v u $P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$$G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$ (tenga en cuenta que esta definición se puede ampliar fácilmente a espacios de medida arbitrarios).

Considere el siguiente algoritmo con y t como entrada:$P$$t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

Este algoritmo calcula la llamada llave codiciosa (o llave codiciosa de ruta). Este gráfico ha sido objeto de una investigación considerable: produce llaves extremadamente buenas, tanto en la práctica como en la teoría.

Estoy interesado en la longitud del borde más largo en la llave codiciosa si se distribuye uniformemente en [ 0 , 1 ] d (el caso de que d = 2 también está bien). Supongo que esta longitud máxima es como máximo de 1 / $P$$[0,1]^d$ , potencialmente con algunos factores logarítmicos y factoresd. Esta conjetura está motivada por datos experimentales.$1 / \sqrt{N}$$d$

La razón de mi interés es que tengo un algoritmo que calcula la llave codiciosa rápidamente si la longitud del borde más largo es relativamente corta. Si lo anterior es correcto, significaría que mi algoritmo es aplicable al escenario anterior y, por lo tanto, potencialmente útil en la práctica.

He encontrado algunos documentos que analizan el número de bordes y el grado de otros tipos de llaves en conjuntos de puntos distribuidos aleatoriamente, pero ninguno en la longitud del borde más largo. La teoría de la probabilidad involucrada parecía bastante complicada, así que esperaba que se supiera algo antes de intentar una prueba por mí mismo.

En nuestro documento Distribución sensible a la construcción de la llave inglesa (aceptado para ESA 2014) demostramos lo siguiente (combinando el Teorema 4 y el Lema 6):

Existe depende solo de t de tal manera que para cada c > 0 , si P es un conjunto de puntos distribuidos de manera uniforme e independiente al azar en un $c_t$$t$$c > 0$$P$ cuadradoynes lo suficientemente grande, entonces con una probabilidad de al menos1-nc, el codiciosot-spanner enPno tiene aristas más largas quec⋅ctlogn.$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$$c \cdot c_t \log n$

Nuestro límite en es bastante grande, pero tenemos evidencia experimental de que el límite 'correcto' es $c_t$ .$\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$