La entropía de una convolución sobre el hipercubo

Digamos que tenemos una función $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$ , de modo que $\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$ (por lo que podemos pensar en como una distribución). Es natural definir la entropía de dicha función de la siguiente manera: $\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$

$$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$$

Ahora, considere la convolución de consigo mismo: (Tenga en cuenta que dado que estamos tratando con , entonces )$f$

$$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$$ $\mathbb{Z}_2^n$$x+y=x-y$

¿Es posible límite superior la entropía de (normalizado en su -norma, con el fin de que sea una distribución) por la entropía de ? Formalmente, ¿hay alguna constante tal que $f*f$$L_2$$f$$C$

$$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$$

No hay tal . Defina por $C$$g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

$$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Entonces satisface $g*g$

$$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Deje . Entonces es (de hecho es exponencialmente pequeño en ), mientras que es aproximadamente .$f=g/\|g\|_2$$H(f)=H(g/\|g\|_2)$$o(1)$$n$$H(g*g/\|g*g\|_2)$$n$