Sabemos que si la brecha entre los valores de un programa entero y su dual (la "brecha de dualidad") es cero, entonces las relajaciones de programación lineal del programa entero y la dual de la relajación, ambos admiten soluciones integrales (integralidad "cero" brecha"). Quiero saber si lo contrario es válido, al menos en algunos casos.
A 0 - 1 P ′ P P ′
Agradecería cualquier contraejemplo o punteros ...
Respuestas:
Aquí hay una instancia que podría estar cerca de un contraejemplo del reclamo.
Considere LP y su doble para la matrizP ′ = min { 1 T y + 1 T z | A T y + z ≥ 1 , y ≥ 0 , z ≥ 0 } 12 × 6PAG= max { 1TXEl |A x ≤ 1 , x ≤ 1 , x ≥ 0 } PAG′= min { 1Ty+ 1Tz El | UN Ty+ z≥ 1 , y ≥ 0 , z≥ 0 } 12 × 6
Una solución óptima de está dada por (todas las otras variables son cero), con el valor de la función objetivo del . La solución óptima de viene dado por el vector . Si resuelve como un programa entero, el valor óptimo de la función objetivo es solo , y es una solución óptima.PAG′ y1= y2= y12= 1 3 PAG x = [ 0.5 0.5 0 1 0.5 0.5 ] T PAG 2 x = [ 1 0 0 1 0 0 ]
En resumen, el LP tiene una solución óptima integral, pero su doble no tiene una solución óptima integral. Los roles primarios-duales se invierten de la configuración que Ankur quería. Pero dada la naturaleza de la dualidad LP, esta instancia aún podría considerarse un contraejemplo de la declaración general de la reclamación original.PAG′ PAG
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