¿Por qué valoraciones al definir FOL?

¿Por qué se necesitan valoraciones para definir la semántica de la lógica de primer orden? ¿Por qué no solo definirlo para oraciones y también definir sustituciones de fórmulas (de la forma esperada)? Eso debería bastar:

en vez de

Es perfectamente posible definir la satisfacción usando oraciones simples como sugiere, y de hecho, solía ser el enfoque estándar durante bastante tiempo.

El inconveniente de este método es que requiere mezclar objetos semánticos en la sintaxis: con el fin de hacer una definición inductiva de la satisfacción de las oraciones en un modelo , no es suficiente para definirlo de frases de la lengua original de . Primero debe expandir el lenguaje con constantes individuales para todos los elementos del dominio de , y luego puede definir la satisfacción de las oraciones en el lenguaje expandido. Esta es, creo, la razón principal por la cual este enfoque quedó en desuso; Si utiliza valoraciones, puede mantener una clara distinción conceptual entre las fórmulas sintácticas del lenguaje original y las entidades semánticas que se utilizan para modelarlas.M $M$$M$$M$

El significado de una fórmula cerrada es un valor de verdad o . El significado de una fórmula que contiene una variable libre extiende sobre un conjunto es una función de a valores de verdad. Las funciones forman un álgebra booleana completa, por lo que podemos interpretar la lógica de primer orden.⊤ x A A A → { ⊥ , ⊤ $\bot$$\top$$x$$A$$A$$A \to \lbrace \bot, \top \rbrace$

De manera similar, un término cerrado denota un elemento de algún dominio , mientras que un término con una variable libre denota una función porque el elemento depende del valor de la variable.D D → $t$$D$$D \to D$

Por lo tanto, es natural interpretar una fórmula con variables libres en el álgebra booleana completa donde es el dominio del rango de las variables. Ya sea que exprese la interpretación en este álgebra booleana completa en términos de valoraciones o no, es una cuestión técnica.x 1 , ... , x n D n → { ⊥ , ⊤ }$\phi(x_1, \ldots, x_n)$$x_1, \ldots, x_n$$D^n \to \lbrace{\bot, \top\rbrace}$$D$

Los matemáticos parecen estar generalmente confundidos acerca de las variables libres. Piensan que están implícitamente cuantificados universalmente o algo así. La causa de esto es un meta-teorema que establece que es demostrable si y solo si su cierre universal es demostrable. Pero hay más en las fórmulas que su demostrabilidad. Por ejemplo, generalmente no es equivalente a , por lo que ciertamente no podemos pretender que estas dos fórmulas son intercambiables.∀ x . ϕ ( x ) ϕ ( x ) ∀ x . ϕ ( x $\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$$\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$

Para resumir:

• Las fórmulas con variables libres son inevitables, al menos en la lógica habitual de primer orden,
• El significado de una fórmula con una variable libre es una función de verdad ,
• por lo tanto, en semántica nos vemos obligados a considerar álgebras booleanas completas , que es de donde provienen las valoraciones,$D^n \to \lbrace\bot, \top\rbrace$
• El cierre universal de una fórmula no es equivalente a la fórmula original,
• Es un error equiparar el significado de una fórmula con el significado de su cierre universal, así como es un error equiparar una función con su codominio.

$x > 2$$x$$\pi$$x$$\pi$$x > 2$$\pi$$x$

Quiero fortalecer la respuesta de Alexey y afirmar que la razón es que la primera definición tiene dificultades técnicas , y no solo que la segunda forma (estándar) es más natural.

El punto de Alexy es que el primer enfoque, es decir:

$M \models \forall x . \phi \iff$$d \in M$$M \models \phi[x\mapsto d]$

mezcla sintaxis y semántica.

Por ejemplo, tomemos el ejemplo de Alexey:

${(0,\infty)} \models x > 2$

$(0,\infty) \models \pi > 2$

$\pi > 2$$\pi$$M$$\pi \approx 3.141\ldots$

$M\models\sqrt[15]{15,000,000} > 2$$\sqrt{}$$15$$15,000,000$

Para aclarar el punto, considere lo que sucede cuando el modelo que presentamos tiene una estructura más complicada. Por ejemplo, en lugar de tomar números reales, tome cortes de Dedekind (una implementación particular de los números reales).

$(A,B)$

$({q \in \mathbb Q | q < 0 \vee q^2 < 5}, {q \in \mathbb Q | 0 \leq q \wedge q^2 > 5}) > 2$$\sqrt{5}$$x > 2$

$[ x \mapsto t]: Terms \to Terms$

Es posible que pueda superar estos tecnicismos, pero supongo que tendrá que trabajar muy duro.

El enfoque estándar mantiene la distinción entre sintaxis y semántica. Lo que cambiamos es la valoración, una entidad semántica, y mantener fórmulas sintácticas.