Contando el número de regiones gruesas que se superponen a un cuadrado

Sea una unidad cuadrada. En función de , ¿cuál es el número máximo de regiones grasas disgregadas en pares con un diámetro de al menos 1 que puede intersecar ? $S$ $\beta$ $\beta$ $S$

A continuación, damos una figura que muestra que para , el número máximo es 7. ¿Qué pasa con ? $\beta=1$ $\beta = 2, 3, \ldots, n$

Recordemos la definición de grasa para regiones en el plano. Dada una región , deje que el círculo de radio sea el círculo más grande contenido en , y deje que el círculo $R$ $C_1$ $r_1$ $R$ de radio sea el círculo más pequeño que contiene . Lagordurade viene dada por $C_2$ $r_2$ $R$ $R$ , y decimos queesgrasa, para $\frac{r_2}{r_1}$ $R$ $\beta$ . $\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Por ejemplo, si , entonces las regiones son círculos unitarios, y hay 7 círculos con un diámetro de al menos 1 que pueden superponersesin superponerse entre sí. En la figura a continuación, hemos representado un cuadrado unitario y 7 círculos unitarios que se superponen al cuadrado. $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$ $S$

círculos superpuestos

cg.comp-geom Joe
fuente

S

$S$

1

$1$

S

$S$

r_{2} = r_{1} = 1

$r_2 = r_1 = 1$

7

$7$

S

$S$

Su definición de "grueso" es una de las definiciones estándar de "gordo". Supongo que quiere decir "el número máximo de regiones gruesas disjuntas con un diámetro de al menos 1 que puede intersecar S", ya que de lo contrario no hay límite superior. Los círculos

pequeños

@ Jɛ ﬀ E sí, eso es exactamente lo que estoy tratando de decir. Editaré la pregunta para aclarar.

Joe

@YixinCao proporcioné una cifra que, con suerte, debería aclarar las cosas.

Joe

@ Joe Como muestra mi imagen, son posibles siete círculos. El punto es: dos círculos (casi) tangentes a dos puntos opuestos. Mi dibujo siempre es malo, pero espero que el gráfico sea útil.

Yixin Cao

Contando el número de regiones gruesas que se superponen a un cuadrado

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