Calcular matriz inversa cuando un elemento cambia

Dado un matriz A . Deje que la matriz inversa de A sea A - 1 (es decir, A A - 1 = I ). Suponga que un elemento en A cambia (digamos a i j a a ′ i j ). El objetivo es encontrar A - 1 después de este cambio. ¿Existe un método para encontrar este objetivo que sea más eficiente que volver a calcular la matriz inversa desde cero?$n \times n$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$$\mathbf{A}$$a _{ij}$$a' _{ij}$$\mathbf{A}^{-1}$

La fórmula de Sherman-Morrison podría ayudar:

Sea y v = e j , donde e i es el vector de columna base estándar. Puede verificar que si la matriz actualizada es A ′, entonces A ′ - 1 = A - 1 - ( a ′ i j - a i j ) A - 1 i → A - $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$$v = e_j$$e_i$$A'$

$A$$A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$$a_{ij}$$e_i$$i$

$e_i \delta e_j^\top$$\delta$$ij$$A^{-1}$$A^{-1}$

$A^{-1}$