Considere la secuencia . Parece "regular" de una manera que, por ejemplo, no lo es.
Sin embargo, no estoy seguro de cómo formalizar esta intuición. Una cosa que me llama la atención es que es un lenguaje regular, y es, en cierto sentido, el límite de las cadenas en este idioma.
¿Existe una terminología para considerar estas cadenas infinitas? ¿Tenemos algo análogo al lema de bombeo, mediante el cual podemos afirmar que cualquier cadena "regular infinita" tiene la forma con , , finita?
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Xodarap
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Respuestas:
Probablemente el término más específico para describir su primera cadena,010101 ... es periódica . Una cuerdaX1X2... (finito o infinito) es periódico si hay alguna t tal que, para todos yo , Xyo=Xi + t . En el caso de este ejemplo, podemos tomart = 2 . Una noción ligeramente más débil es que una cadena es eventualmente periódica si haynorte y t tal que Xyo=Xi + t para todos i ≥ n .
Sin embargo, en términos más generales, existe un análogo directo de los idiomas regulares, que es elω -lenguajes regulares . Estos son reconocidos por generalizaciones naturales de autómatas finitos. El conjunto de estados todavía es finito, pero el criterio de aceptación debe modificarse para tratar con palabras infinitas; en particular, no podemos decir simplemente "Aceptar si el autómata termina en un estado de aceptación" porque el autómata nunca termina de procesar su entrada infinita.
La clase más simple de autómatas para palabras infinitas son los autómatas Büchi . Se definen exactamente como los autómatas finitos a los que está acostumbrado, y aceptan su entrada si se visita al menos un estado de aceptación infinitamente durante la ejecución del autómata. Una diferencia de los autómatas finitos ordinarios es que resulta que los autómatas Büchi no deterministas son más poderosos que los deterministas, y elω -los lenguajes regulares son los aceptados por los autómatas no deterministas de Büchi. Otros criterios de aceptación razonables conducen a otros modelos de autómatas que aceptan la misma clase de idiomas.
Tenga en cuenta que no tiene mucho sentido escribirXyωz , ya que no puedes tener nada después de una secuencia infinita dey s. Al menos, no puede si las posiciones en su cadena están indexadas por los números naturales. Si están indexados por ordinales más grandes, esto puede tener sentido.
En realidad no puedo recordar si hay un análogo del lema de bombeo paraω -lenguajes regulares. Esto es un poco vergonzoso, aunque ha pasado casi una década desde que enseñé una clase de posgrado sobre estas cosas.
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Este es un resultado básico en la efectividad de tipo dos, que creo que responde a su pregunta desde un punto de vista computable. A continuación, nuestros idiomas consisten solo en cadenas infinitas. Denotamos el conjunto de cuerdas infinitasΣω .
La prueba es por el lema de Konig.
La conclusión es que un lenguaje sobre cadenas infinitas es "simple" en algún sentido (que es un hecho interesante ) o indecidible. Cualquier noción no trivial del lenguaje sobre cadenas infinitas es indecidible.
Presumiblemente, puede estudiar idiomas menos simples si permite que la membresía sea semidecidible en lugar de decidible. Esto todavía puede considerarse "informática" y no solo matemática infinita (tiene que ver con problemas de búsqueda en lugar de problemas de decisión; la semidecidabilidad es, en cierto sentido, suficiente para hacer una búsqueda).
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