Sus lanzamientos de monedas forman una caminata aleatoria unidimensional comenzando en , con , cada una de las opciones con probabilidad . Ahoray entonces . Es fácil calcular (esto es solo la varianza), y así de convexidad. También sabemos que se distribuye más o menos normal con media cero y varianza , por lo que puede calcular .X0,X1,…X0=0Xi+1=Xi±11/2Hi=|Xi|H2i=X2iE[X2i]=iE[Hi]≤E[H2i]−−−−−√=i√XiiE[Hi]≈(2/π)i−−−−−√
En cuanto a , tenemos la ley del logaritmo iterado , que (quizás) nos lleva a esperar algo un poco más grande que . Si eres bueno con un límite superior de , puedes usar un límite de desviación grande para cada y luego el límite de unión, aunque eso ignora el hecho de que los están relacionados.√E[maxi≤nHi]˜ O ( √n−−√XiXiO~(n−−√)XiXi
Editar: Como sucede, debido al principio de reflexión, vea esta pregunta . Entonces
desde . Ahora
y por lo tantoE [ max i ≤ n X i ]Pr[maxi≤nXi=k]=Pr[Xn=k]+Pr[Xn=k+1] Pr[Hn=k]=Pr[Xn=k]+Pr[Xn=-k]=2Pr[Xn=k] max i ≤ n X i + max i ≤ n (- X i
E[maxi≤nXi]=∑k≥0k(Pr[Xn=k]+Pr[Xn=k+1])=∑k≥1(2k−1)Pr[Xn=k]=∑k≥12kPr[Xn=k]−12+12Pr[Xn=0]=E[Hn]+Θ(1),
Pr[Hn=k]=Pr[Xn=k]+Pr[Xn=−k]=2Pr[Xn=k]maxi≤nXi+maxi≤n(−Xi)2≤maxi≤nHi≤maxi≤nXi+maxi≤n(−Xi),
E[maxi≤nHi]≤2E[Hn]+Θ(1)=O(n−−√). La otra dirección es similar.
Puede usar la distribución medio normal para probar la respuesta.
La distribución semi normal establece que si es una distribución normal con media 0 y varianza , entoncessigue una distribución media con media , y varianza . Esto da la respuesta requerida, ya que la varianza de la caminata normal es , y puede aproximar la distribución de a una distribución normal utilizando el teorema del límite central.X σ2 |X| σ2π−−√ σ2(1−2/π) σ2 n X
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En los primeros , supongamos que obtenemos colas, luego. Por lo tanto, Usa la aproximación de Stirling , sabemos que .2i k H2i=2|i−k| E(H2i)=Θ(√
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