Encuentra st es -duro para cualquier

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Deje que Lϵ sea ​​el lenguaje de todas las fórmulas 2 -CNF φ , de modo que pueda satisfacerse al menos (12+ϵ) de las cláusulas de φ .

Necesito demostrar que existe ϵ st Lϵ es NP -hard para cualquier ϵ<ϵ .

Sabemos que Max2Se sentó puede ser aproximado a 5556 precedente de las cláusulas de una reducción de Max3Se sentó . ¿Cómo debería resolver este?

Joni
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Respuestas:

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En su famoso artículo, Håstad muestra que es NP-difícil aproximar MAX2SAT mejor que 21/ /22 . Esto probablemente significa que es NP-difícil de distinguir instancias que son α satisfactorias e instancias que son (22/ /21)α satisfactorias, para algunos α1/ /2 . Ahora imagine rellenar una instancia para que se convierta en una fracción pags de una nueva instancia, el resto de la cual es exactamente 1/ /2 satisfactoria (digamos que consiste en grupos de cláusulas de la forma una¬una ). Los números ahora se convierten en 1/ /2+pags(α-1/ /2) y 1 / 21/ /2+pags((22/ /21)α-1/ /2). El último número se puede hacer tan cerca de como queramos.1/ /2

Yuval Filmus
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¿Su método funciona cuando ε es un número real arbitrario (pero suficientemente pequeño)? No puedo entender cómo elegir el número apropiado de cláusulas para usar como relleno a menos que suponga algo sobre ε. (Tenga en cuenta que ε no es parte de la entrada y, por lo tanto, está bien definido considerar el número real ε.)
Tsuyoshi Ito
Ahí es donde la brecha entre y podría ser útil. Suponiendo que es racional, tome un poco de racional , y debería hacerlo bien. 1 / 2 + p ( ( 22 / 21 ) α - 1 / 2 ) α p1/ /2+pags(α-1/ /2)1/ /2+pags((22/ /21)α-1/ /2)αpags
Yuval Filmus
Ajá, de alguna manera pensé que ese método no funcionaba cuando lo probé por primera vez, pero ahora veo cómo funciona. ¡Gracias!
Tsuyoshi Ito
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Si sabe que ε es un número racional, entonces no necesita una aproximación para que Max-2-SAT pruebe su afirmación. Una prueba típica de la dureza NP de Max-2-SAT (por ejemplo, la del libro de texto Complejidad computacional de Papadimitriou) demuestra en realidad la integridad NP de L 1/5 . Para probar la NP-dureza de L ε para positivo números racionales ε <1/5, podemos reducir L 1/5 a L ε como sigue: dado un fórmula 2CNF φ (una instancia para L 1/5 ), deja que m sea El número de cláusulas en él. Deje r ys ser números enteros positivos de modo que (1 / 5− ε ) mr = 2 ε s se mantenga. Luego construya una fórmula 2CNF (una instancia para L ε ) repitiendo φ por r veces y agregando s pares de cláusulas contradictorias. Un cálculo simple muestra que esto es realmente una reducción de L 1/5 a L ε .

Esta reducción claramente funciona solo si ε es racional, porque de lo contrario r y s no pueden tomarse como enteros. El caso general donde ε no es necesariamente racional parece requerir una aproximación, como Yuval Filmus escribió en su respuesta.

Tsuyoshi Ito
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