Editar distancia de la lista con elementos únicos

La distancia de edición de Levenshtein-Distance entre listas es un problema bien estudiado. Pero no puedo encontrar mucho sobre posibles mejoras si se sabe que ningún elemento ocurre más de una vez en cada lista .

Supongamos también que los elementos son comparables / ordenables (pero las listas para comparar no están ordenadas para empezar).

$O(\min(m,n)s)$$O(\min(s,m,n)s)$$s$

Más formalmente,

¿Qué tan eficientemente podemos calcular la distancia de edición entre dos cadenas dadas con la promesa de que no tienen letras repetidas?$s,t \in \Sigma^*$

$\Sigma$ es un alfabeto muy grande.

TL; DR: un tipo de distancia de edición un poco más restrictivo, en el que solo podemos insertar y eliminar caracteres individuales, puede calcularse en tiempo lineal lineal cuando ambas (o incluso una) de las cadenas tienen caracteres únicos. Esto proporciona límites superiores e inferiores útiles en la distancia de edición de Levenshtein.

Insertar / eliminar distancia de edición y subsecuencias comunes más largas

La distancia de edición de Levenshtein permite inserciones, eliminaciones y sustituciones de un solo carácter, asignando a cada una un costo de 1. Si restringimos solo las inserciones y eliminaciones, obtenemos una medida de distancia similar que ahora hace que las sustituciones tengan un costo de 2 (ya que cualquier sustitución puede ser imitado usando una inserción y una eliminación). No conozco un nombre estándar para este tipo de distancia de edición más restrictiva, así que lo llamaré "insertar / eliminar distancia de edición". Que se corresponde estrechamente con el problema más larga subsecuencia común (LCS) , en la que se nos dan dos cadenas, de longitud y , respectivamente, y queremos saber la longitud de la subsecuencia más larga que aparece en ambos. Si dos cadenas tienen LCS$m$$n$$L$, luego tienen una distancia de edición de inserción / eliminación$n+m-2L$ : la forma más fácil de ver esto es alinear las cadenas para que los caracteres en el LCS aparezcan apilados uno encima del otro, mientras que los caracteres que no están en el LCS aparecen enfrente de un -espacio personaje. Entonces será evidente que podemos editar la primera cadena en la segunda haciendo una inserción donde haya una -en la fila superior y una eliminación donde haya una -en la fila inferior. Por ejemplo:

-C-IRC-LE
T-RI-CKLE

Aquí el LCS de CIRCLEy TRICKLE, ICLEtiene una longitud 4, y la distancia de edición es de hecho .$6+7-2*4=5$

Subsecuencias crecientes más largas

La razón de este desvío es que hay una forma muy eficiente de calcular el LCS (y, por lo tanto, la distancia de edición de inserción / eliminación) cuando al menos una de las secuencias contiene solo caracteres distintos: en este caso, el problema de LCS se puede transformar en El problema de encontrar una subsecuencia creciente más larga , que se puede resolver en el tiempo . Supongamos que se nos dan dos cadenas y , y la cadena tiene caracteres distintos. Podemos cambiar el nombre del primer carácter en a 1, el segundo a 2 y así sucesivamente, haciendo un seguimiento de qué número asignamos a cada carácter en una tabla. Entonces en$O(n \log n)$$A$$B$$A$$A$$B$, cambiamos el nombre de sus caracteres usando esta tabla (es decir, cada aparición de lo que fue el primer carácter Ase cambia a 1, etc.). Finalmente, buscamos una subsecuencia cada vez mayor en B. Esto corresponde a un LCS entre Ay B, y desde allí podemos calcular inmediatamente la distancia de edición de inserción / eliminación. El tiempo total necesario es solo si y tienen longitudes y , respectivamente.$O(n + m\log m)$$A$$B$$n$$m$

Límites en Levenshtein editar distancia

La distancia de inserción / eliminación proporciona claramente un límite superior en la distancia de Levenshtein (ya que cualquier secuencia válida de operaciones de edición bajo la distancia de inserción / eliminación también es una secuencia válida de operaciones de edición de Levenshtein). Dividir la distancia de edición de inserción / eliminación por 2 también proporciona un límite inferior, ya que en el peor de los casos, cualquier operación de edición de Levenshtein se puede cambiar a 2 operaciones de edición de inserción / eliminación.

Generalizaciones

Ya en 1977, Hunt y Szymanski idearon un algoritmo que puede verse como una generalización del algoritmo de subsecuencia de mayor crecimiento. Es eficiente cuando el número de pares de posiciones de caracteres coincidentes entre las dos cadenas es pequeño. Si hay tales pares, su algoritmo tarda tiempo. (Observe que si todos los caracteres en una cadena son distintos). Este algoritmo fue la base del programa original , que trató líneas enteras de texto como caracteres individuales. más tarde cambió a usar el algoritmo de tiempo Myers , donde$r$$O((r + n)\log n)$$r \le n$diffdiff$O(nd)$$d$ es la distancia de edición de inserción / eliminación, ya que funciona mejor cuando las diferencias generales son pequeñas pero algunos "caracteres" (líneas de texto) aparecen con frecuencia (como una línea que contiene solo una llave de apertura en el código del programa C).

Hunt, J .; Szymanski, T. (1977), "Un algoritmo rápido para calcular subsecuencias comunes más largas", Communications of the ACM, 20 (5): 350–353, doi: 10.1145 / 359581.359603