Minimice los autómatas finitos deterministas sin estados de aceptación

Tengo un autómata finito sin estados finales / de aceptación, por lo que F está vacío. ¿Cómo lo minimizo?

Obtuve esto en una prueba y no sabía cómo abordar el problema porque el autómata no tenía estados de aceptación. ¿Es un estado inicial único con todas las transiciones en sí mismo la respuesta correcta?

Su suposición es correcta y puede verla un poco más formalmente de la siguiente manera. Dejar$\mathcal{A} = (Q, A, \cdot, q_0, F)$ser un DFA La congruencia de Nerode$\sim$ en $Q$ se define de la siguiente manera:

$$p \sim q \text{ if and only if, for every word $u \in A^*$, }\ p \cdot u \in F \iff q \cdot u \in F$$ El conjunto de estados del autómata mínimo de $\mathcal{A}$ es $Q/{\sim}$. Ahora si$F$ es el conjunto vacío, todos los estados de $Q$ son $\sim$-equivalente y por lo tanto $Q/{\sim}$ tiene solo un elemento, digamos $Q/{\sim} = \{1\}$. No tienes elección para las transiciones y por lo tanto$1 \cdot a = 1$ para cada letra $a$. Finalmente$1$ es el estado inicial, pero no hay estado final.

Un autómata finito sin estados finales denota el lenguaje L = $\emptyset$. Para minimizar un DFA, minimizamos el número de estados y el idioma indicado debe ser el mismo. Por definición de DFA debemos tener un estado inicial$q_0$ entonces $| Q | \geq 1$ y como usted dice, necesitamos incluir la función de transición con toda la transición a $q_0$ (porque crear estados muertos es contraproducente).