¿Puedo tener un "tipo de coproducto dependiente"?

Estoy leyendo el libro de HoTT y tengo una pregunta (probablemente muy ingenua) sobre las cosas en el capítulo uno.

El capítulo presenta el tipo de función y luego lo generaliza haciendo que dependa de y eso se llama el tipo de función dependiente .

$$f:A\to B$$ $B$$x:A$ $$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\prod_{x:A}B(x)$$

Continuando, el capítulo presenta el tipo de producto y luego lo generaliza haciendo que dependa de B: A \ to \ mathcal {U}, \ qquad g: \ sum_ {x: A} B (x) y eso se llama el tipo de par dependiente .

$$f:A\times B$$ $B$$x:A$ $$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\sum_{x:A}B(x)$$

Definitivamente puedo ver un patrón aquí.

Continuando, el capítulo luego presenta el coproducto tipo

$$f:A+B$$ y ... combobreaker ... no hay discusión sobre la versión dependiente de este tipo.

¿Hay alguna restricción fundamental sobre eso o simplemente es irrelevante para el tema del libro? En cualquier caso, ¿alguien puede ayudarme con la intuición de por qué funcionan y los tipos de productos? ¿Qué hace que esos dos sean tan especiales que se generalicen a tipos dependientes y luego se usen para construir todo lo demás?

La suma dependiente es una generalización común tanto de la cartesiano producto y el coproducto . Sucede que el libro HoTT introduce una suma dependiente generalizando , porque eso no requiere que el tipo booleano se defina primero.A + B A × $A \times B$ $A + B$$A \times B$

El coproducto es un caso especial de suma dependiente. Tipos dados y , consideran el tipo de familia definida por y . La suma dependiente de es equivalente a . Por cierto, también puede obtener como producto dependiente .B P : b o o l → U P ( f a l s e ) = A P ( t r u e ) = B ∑ b : b o o l P ( b ) A + B A × B ∏ b : b o o l P ( b $A$$B$$P : \mathtt{bool} \to \mathcal{U}$$P(\mathtt{false}) = A$$P(\mathtt{true}) = B$$\sum_{b : \mathtt{bool}} P(b)$$A + B$$A \times B$$\prod_{b : \mathtt{bool}} P(b)$

Pregunta qué tiene de especial los productos y los tipos de funciones. Hay muchas, muchas razones por las que y son "necesarios". En términos de lógica, son necesarios porque corresponden a y por la correspondencia de proposiciones como tipos (pero eso solo cambia la pregunta a "¿por qué son y necesarios?"). En términos de teoría de categorías, y son necesarios porque son los adjuntos izquierdo y derecho a la sustitución. Haga una pregunta más específica si desea saber más.$\sum$$\prod$$\exists$$\forall$$\exists$$\forall$$\sum$$\prod$

Hablaré sobre esto más ingeniería de software.

¿Estás hablando de un tipo de coproducto cuyos últimos constructores pueden referirse a los anteriores (que se parece bastante a un producto cuyos últimos campos pueden referirse a los anteriores)? Esto es posible en Agda después de la introducción de HIT (en la versión 2.6.0):

-- Auxiliary definition: Nat
data Nat : Set where
  zero : Nat
  succ : Nat -> Nat

-- The HIT I was talking about
data Int : Set where
  positive : Nat -> Int
  negative : Nat -> Int
  -- Note this constructor uses `positive` and `negative`.
  zeroPath : positive zero ≡ negative zero

Siguiendo este documento , si su verificador de tipo verifica las definiciones definidas usando la sintaxis presentada en la figura "(26)", creo que es bastante simple admitir "coproductos dependientes".