Un Hidoku es una cuadrícula con algunos enteros precompletados de 1 a n 2 . El objetivo es encontrar un camino de enteros sucesivos (de 1 a ) en la cuadrícula. Más concretamente, cada celda de la cuadrícula debe contener un número entero diferente de 1 a n 2 y cada celda con valor z ≠ n 2 debe tener una celda vecina con valor z + 1 (también puede ser en diagonal).
¿Es NP difícil decidir si un Hidoku dado tiene solución? ¿Qué reducción podría usarse?
Editar: de acuerdo con los comentarios, doy una pequeña aclaración. Dado es una cuadrícula de celdas, algunas de ellas ya contienen valores (enteros de 1 a n²). Debemos llenar todas las celdas restantes con números enteros de 1 a , de modo que no haya dos celdas que tengan el mismo valor y que cada celda con valor z ≠ n ² tenga un vecino con valor z + 1 . Es decir, después de completar las celdas, debemos encontrar la ruta 1 , 2 , 3 , ⋯ , n 2 . En la cuadrícula, que visita lógicamente cada celda.
Un ejemplo de un Hidoku sería http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif . Un Hidoku ya resuelto es http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif , donde puede ver el camino al que me refería.
Respuestas:
creo que es -completo: como notó Raphael, el ciclo hamiltoniano en los gráficos de cuadrículaconproblemas deagujeroses NP completo (Alon Itai, Christos H. Papadimitriou, Jayme Luiz Szwarcfiter: Hamilton Paths in Grid Graphs. SIAM J. Comput. 11 (4): 676-686 (1982)).NP
Entonces, dado un gráfico de cuadrícula con agujeros, puedes construir fácilmente un juego de Hidoku equivalente donde las celdas fijas iniciales llenan todas las diagonales pares; las diagonales impares vacías forman un gráfico no dirigido que es equivalente al gráfico de cuadrícula original G y el Hidoku tiene una solución si y solo si el gráfico de cuadrícula original tiene un camino hamiltoniano.G G
Figura 1: un gráfico de cuadrícula con agujeros y el equivalente12×12 rompecabezas Hidoku equivalente (las celdas azules representan las celdas numeradas fijas iniciales ( es la primera, 144 es la última), las celdas blancas son las celdas que el jugador debe llenar, línea púrpura indica la secuencia de las celdas numeradas fijas iniciales).1 144
Se pueden agregar líneas auxiliares (rellenas) en el lado inferior o derecho para que sea un cuadrado.
Otro ejemplo de reducción de un gráfico de cuadrícula a un rompecabezas Hidoku: el gráfico de cuadrícula de 6x4 está incrustado en una cuadrícula más grande de 13x13; las diagonales pares se rellenan con números fijos, y las celdas libres restantes son equivalentes al gráfico de cuadrícula original.
La imagen completa con transformación se puede descargar aquí .
Algunas notas adicionales para completar la respuesta:
el problema también se conoce como Hidato ; el tablero puede tener una forma arbitraria (pero como una generalización de la caja cuadrada, sigue siendo NP-hard);
como lo demostró correctamente Steven Stadnicki en su respuesta, no es obvio que el problema esté en NP si la cuadrícula inicial parcialmente llena no se da como una matriz de enteros, sino que se da en algunosn×n representación sucinta ; sin embargo, está claramente en NP si la tabla inicial se proporciona utilizando la lista razonable de representación de enteros;
Creo que las reglas originales del juego dicen que el solución debería ser única ; por lo que el problema está en los Estados Unidos (US-duro), y poco probable que sea en NP.
En resumen, si eliminamos la restricción de solución única y especificamos el tablero inicial con una lista de enteros, el juego es N P -completo.n2 NP
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(Para una discusión de problemas similares, vea mi pregunta de hace un tiempo sobre la complejidad de la sucinta Nurikabe en el sitio cstheory.SE).
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