¿Qué es el Ultraradical?

El ultraradical , o el radical Bring, de un número real se define como la única raíz real de la ecuación quíntica .$a$$x^5+x+a=0$

Aquí usamos para denotar la función ultraradical. Por ejemplo, , ya que .$UR(\cdot)$$UR(-100010)=10$$10^5+10-100010=0$

Reto

Escriba un programa completo o una función, que tome un número real como entrada y devuelva o salga su ultraradical.

Requisitos

No se permiten lagunas estándar. Los resultados para los casos de prueba a continuación deben ser precisos al menos con 6 dígitos significativos, pero en general el programa debe calcular los valores correspondientes para cualquier entrada de número real válida.

Casos de prueba

Se dan 9 decimales redondeados hacia 0 como referencia. Se agrega explicación para algunos de los casos de prueba.

 a                         | UR(a)
---------------------------+---------------------
             0             |   0.000 000 000        # 0
             1             |  -0.754 877 (666)      # UR(a) < 0 when a > 0
            -1             |   0.754 877 (666)      # UR(a) > 0 when a < 0
             1.414 213 562 |  -0.881 616 (566)      # UR(sqrt(2))
            -2.718 281 828 |   1.100 93(2 665)      # UR(-e)
             3.141 592 653 |  -1.147 96(5 385)      # UR(pi)
            -9.515 716 566 |   1.515 71(6 566)      # 5th root of 8, fractional parts should match
            10             |  -1.533 01(2 798)
          -100             |   2.499 20(3 570)
         1 000             |  -3.977 89(9 393)
      -100 010             |  10.000 0(00 000)      # a = (-10)^5 + (-10)
 1 073 741 888             | -64.000 0(00 000)      # a = 64^5 + 64

Criterios ganadores

La presentación válida más corta en cada idioma gana.

Wolfram Language (Mathematica) , 20 bytes

Root[xx^5+x+#,1]&

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Todavía está incorporado, pero al menos no lo es UltraRadical.

(el personaje se muestra como |->en Mathematica, similar a =>JS)

Python 3.8 (prelanzamiento) , 60 bytes

f=lambda n,x=0:x!=(a:=x-(x**5+x+n)/(5*x**4+1))and f(n,a)or a

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Método de iteración de Newton. $x' = x - \frac {f(x)} {f'(x)} = x - \frac {x^5+x+n} {5x^4+1}$

Mientras usa $\frac {4x^5-n} {5x^4+1}$ es matemáticamente equivalente, hace que el programa se repita para siempre.

Otro enfoque:

Python 3.8 (versión preliminar) , 102 bytes

lambda x:a(x,-x*x-1,x*x+1)
a=lambda x,l,r:r<l+1e-9and l or(m:=(l+r)/2)**5+m+x>0and a(x,l,m)or a(x,m,r)

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Búsqueda binaria, dado que la función x^5+x+aestá aumentando. Establecer los límites a -abs(x)y abs(x)es suficiente pero -x*x-1y x*x+1es más corto.

Por cierto, el límite de recursión de Python es demasiado bajo, por lo que es necesario tener 1e-9, y :=se llama operador de morsa.

JavaScript (ES7), 44 bytes

Una versión más segura con la misma fórmula que a continuación pero con un número fijo de iteraciones.

n=>(i=1e3,g=x=>i--?g(.8*x-n/(5*x**4+5)):x)``

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JavaScript (ES7),  43  42 bytes

Método de Newton, usando $5x^4+5$ como una aproximación de $f'(x)=5x^4+1$ .

n=>(g=x=>x-(x-=(x+n/(x**4+1))/5)?g(x):x)``

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¿Cómo?

Comenzamos con $x_0=0$ y calculamos recursivamente:

hasta que $x_k-x_{k+1}$ sea ​​insignificante.

Jalea , 8 bytes

;17B¤ÆrḢ

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Cómo funciona:

• Construye la lista [a, 1, 0, 0, 0, 1]anteponiendo aa la representación binaria de 17. ¿Por qué esta lista? Porque corresponde a los coeficientes que estamos buscando:

  [a, 1, 0, 0, 0, 1] -> P(x) := a + 1*x^1 + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4 + 1*x^5 = a + x + x^5
  

• Entonces, Æres una función incorporada que resuelve la ecuación polinómica P(x) = 0, dada una lista de coeficientes (lo que construimos anteriormente).

• Solo estamos interesados ​​en la solución real, por lo que tomamos la primera entrada en la lista de soluciones con Ḣ.

APL (Dyalog Unicode) , 11 10 bytes ^SBCS

-1 gracias a dzaima

Función de prefijo tácito anónimo.

(--*∘5)⍣¯1

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(... )⍣¯1 aplique la siguiente función tácita negativa una vez:

 - el argumento negado

 - menos

 *∘5 el argumento planteado al poder de 5

$x$$f(x)=-x-x^5$$y$

R , 43 bytes

function(a)nlm(function(x)abs(x^5+x+a),a)$e

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nlm$x\mapsto |x^5+x+a|$nlma

R , 56 bytes

function(x)(y=polyroot(c(x,1,0,0,0,1)))[abs(Im(y))<1e-9]

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polyroot$a$polyroot

J , 14 bytes

{:@;@p.@,#:@17

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J tiene un incorporado para resolver polinomios ... p.

Los últimos 4 casos de prueba caducaron en TIO, pero en teoría siguen siendo correctos.

cómo

Los coeficientes polinómicos para la construcción de J se toman como una lista numérica, con el coeficiente para el x^0primero. Esto significa que la lista es:

a 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1es 17 en binario, así que lo representamos como #:@17, luego agregamos la entrada ,, luego aplicamos p., luego desempaquetamos los resultados con raze ;, luego tomamos el último elemento{:

Ruby , 53 41 bytes

->a{x=a/=5;99.times{x-=a/(x**4+1)+x/5};x}

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Usando Newton-Raphson con un número fijo de iteraciones, y el mismo truco de aproximación que Arnauld

Pari / GP , 34 32 26 24 bytes

a->-solve(X=0,a,a-X-X^5)

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05AB1E , 12 bytes

ΔyIy4m>/+5/-

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El método de Newton

k4, 33 31 bytes

{{y-(x+y+*/5#y)%5+5*/4#y}[x]/x}

newton-raphson calculó iterativamente hasta que un número converge

editar: -2 gracias a ngn!

whoops, entendí todo esto mal ...

K (oK), 10 bytes

{-x+*/5#x}

Pari / GP , 24 bytes

a->polrootsreal(x^5+x+a)

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C, 118b / 96b

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a,t=1;while(fabs(t)>1e-6){t=x*x*x*x;t=(x*t+x+a)/(5*t+1);x-=t;}return x;}

118 bytes con el nombre de la función original y con cierta precisión adicional (doble). Con bit hacks puede ser mejor, pero no portable.

96 bytes con iteraciones fijas.

double ur(double a){double x=a,t;for(int k=0;k<99;k++){t=x*x*x*x;x=(4*x*t-a)/(5*t+1);}return x;}

En realidad, nuestra función es tan buena que podemos usar mejores adaptaciones del método de Newton. Una implementación mucho más rápida y práctica (150 bytes) sería

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a/5,f=1,t;while(fabs(f)>1e-6){t=x*x*x*x;f=(t*(5*t*x+5*a+6*x)+a+x)/(15*t*t-10*a*x*x*x+1);x-=f;}return x;}

Verifiqué que funciona, pero soy demasiado vago para saber cuánto más rápido sería. Debería ser al menos un orden más más rápido que el de Newton.

Limpio , 61 60 bytes

import StdEnv
$a=iter 99(\x=(3.0*x^5.0-a)/inc(4.0*x^4.0))0.0

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El método de Newton, implementado por primera vez en la respuesta del usuario 202729 .

Limpio , 124 bytes

import StdEnv
$a= ?a(~a)with@x=abs(x^5.0+x+a);?u v|u-d==u=u|v+d==v=v= ?(u+if(@u< @v)0.0d)(v-if(@u> @v)0.0d)where d=(v-u)/3E1

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Una búsqueda "binaria", que reduce el área de búsqueda al 99,6% superior o inferior del rango entre los límites superior e inferior en cada iteración en lugar del 50%.

Python 3 + sympy, 72 bytes

lambda y:float(sympy.poly("x**5+x+"+str(y)).all_roots()[0])
import sympy

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Octava , 25 bytes

@(a)fzero(@(x)x^5+x+a,-a)

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Maplesoft Maple , 23 bytes

f:=a->fsolve(x^5+x+a=0)

Desafortunadamente, no hay un compilador / calculadora de arce en línea por ahí AFAIK. Pero el código es bastante sencillo.