El coeficiente de correlación habitual (en 2d) mide qué tan bien se puede describir un conjunto de puntos por una línea, y en caso afirmativo, su signo nos dice si tenemos una correlación positiva o negativa. Pero esto supone que las coordenadas de los puntos se pueden interpretar cuantitativamente, por ejemplo, como medidas.

Si no puede hacer eso, pero aún puede ordenar las coordenadas, existe el coeficiente de correlación de rango : mide qué tan bien los puntos pueden ser descritos por una función monotónica .

Desafío

Dada una lista de puntos 2d, determine su coeficiente de correlación de rango .

Detalles

• Puede suponer que la entrada son enteros positivos (pero no es necesario) o cualquier otro valor "ordenable".
• Los puntos se pueden tomar como una lista de puntos, o dos listas para las coordenadas X e Y o una matriz o matriz 2D, etc.
• La salida debe ser un punto flotante o de tipo racional, ya que debe representar un número real entre 0 y 1.

Definiciones

Rango: Dada una lista de números X=[x(1),...,x(n)], podemos asignar un número positivo rx(i)llamado rango a cada entrada x(i). Lo hacemos ordenando la lista y asignando el índice de x(i)en la lista ordenada rx(i). Si dos o más x(i)tienen el mismo valor, entonces solo usamos la media aritmética de todos los índices correspondientes como rango. Ejemplo:

          List: [21, 10, 10, 25, 3]
Indices sorted: [4, 2, 3, 5, 1]

El número 10aparece dos veces aquí. En la lista ordenada ocuparía los índices 2y 3. La media aritmética de esos es 2.5que los rangos son

         Ranks: [4, 2.5, 2.5, 5, 1]

Coeficiente de correlación de rango : Sean [(x(1),y(1)),(x(2),y(2)),...,(x(n),y(n))]los puntos dados donde cada x(i)y y(i)es un número real (wlog. Puede suponer que es un número entero) Para cada uno i=1,...,ncalculamos el rango rx(i) y ry(i)de x(i)y y(i)respectivamente.

Sea d(i) = rx(i)-ry(i)la diferencia de rango y Ssea ​​la suma S = d(1)^2 + d(2)^2 + ... + d(n)^2. Entonces el coeficiente de correlación de rango rho viene dado por

rho = 1 - 6 * S / (n * (n^2-1))

Ejemplo

x   y   rx              ry   d      d^2
21  15  4               5   -1      1
10  6   2&3 -> 2.5      2    0.5    0.25
10  7   2&3 -> 2.5      3   -0.5    0.25
25  11  5               4    1      1
3   5   1               1    0      0

    rho = 1 - 6 * (1+0.25+0.25+1)/(5*(5^2-1)) = 0.875   

MATL , 33 bytes

,it7#utb,&S]2XQw)]-Us6*1GntUq*/_Q

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Explicación

,           % Do...twice
  it        %   Input a numeric vector. Duplicate
  7#u       %   Replace each element by a unique integer label (1, 2, ...)
  t         %   Duplicate
  b         %   Bubble up: moves original numeric vector to top
  ,         %   Do...twice
    &S      %     Sort and push the indices of the sorting
  ]         %   End
            %   The above do...twice loop gives the sorted indices (as
            %   explained in the challenge text) for the current input
  2XQ       %   Compute average for entries with the same integer label
  w         %   Swap: move vector of integer labels to top
  )         %   Index. This gives the rank vector for the current input
]           % End
-           % Subtract the two results. Gives d
Us          % Square each entry, sum of vector. S
6*          % Times 6. Gives 6*S
1G          % Push first input vector again
n           % Number of entries. Gives n
t           % Duplicate 
Uq          % Square, minus 1. Gives n^2-1
*           % Times. Gives n*(n^2-1)
/           % Divide. Gives 6*S/(n*(n^2-1))
_Q          % Negate, plus 1. Gives 1-6*S/(n*(n^2-1))

R , 64 60 bytes

function(x,y)1-6*sum((rank(x)-rank(y))^2)/((n=sum(x|1))^3-n)

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ranken R es el incorporado que calcula el rango deseado; el resto es solo la matemática para hacer el resto del trabajo.

Gracias a CriminallyVulgar por guardar 4 bytes

Como se mencionó en los comentarios , la definición establecida del coeficiente de correlación de rango no corresponde precisamente al coeficiente de correlación de Spearman, de lo contrario, una respuesta válida sería 26 bytes:

function(x,y)cor(x,y,,"s")

Python 3 , 141 bytes

lambda X,Y,Q=lambda U,S=sorted:[S(U).index(y)+S(U).count(y)/2+.5for y in U]:1-6*sum((i[1]-i[0])**2for i in zip(Q(X),Q(Y)))/(len(X)**3-len(X))

Esto define una función anónima que toma la entrada como dos listas correspondientes a los valores xy y. La salida se devuelve como un valor de punto flotante.

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Mathematica, 89 bytes

(F[x_]:=Min@N@Mean@Position[Sort@x,#]&;1-6Tr[(F@#/@#-F@#2/@#2)^2]/((y=Length@#)(y^2-1)))&

Pruébalo en línea! (para trabajar en matemáticas, "Tr" se reemplaza por "Total")

Wolfram Language (Mathematica) , 18 bytes

N[SpearmanRho@@#]&

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