Calcular la magnitud aparente de un satélite

Estoy escribiendo un programa que implica calcular la magnitud aparente de los satélites desde una ubicación en tierra. Actualmente tengo la magnitud intrínseca de los satélites y el ángulo de fase solar en grados. Parece que no puedo encontrar una fórmula que funcione.

Lo intenté

magnitude = intrinsicMagnitude - 15 + 5 * Math.Log(distanceToSatellite) - 2.5 * Math.Log(Math.Sin(B) + (Math.PI - B) * Math.Cos(B));

(B es el ángulo de fase)

... pero no funciona (devuelve números como +30). Sé que está mal porque lo estoy comparando con los pases satelitales de heavens-above.com.

intrinsicMagnitude = Magnitud visual a 1000 km de distancia (uso -1.3)

distanceToélite = Distancia del observador al satélite en km (Use 483)

B = Esto es lo que estoy tratando de resolver.

En el documento dice qué es esto pero dice algunas otras cosas que no entiendo. El ángulo de fase que utiliza para obtener esto debería ser 113.

El resultado objetivo de esta ecuación debe ser de alrededor de -3.

Esto es para satélites con tamaño y orientación desconocidos pero magnitud estándar conocida (la magnitud estándar se puede encontrar en la página de información satelital de los cielos arriba, el número se llama magnitud intrínseca) La fórmula adecuada es

            double distanceToSatellite = 485; //This is in KM
            double phaseAngleDegrees = 113.1; //Angle from sun->satellite->observer
            double pa = phaseAngleDegrees * 0.0174533; //Convert the phase angle to radians
            double intrinsicMagnitude = -1.8; //-1.8 is std. mag for iss


            double term_1 = intrinsicMagnitude;
            double term_2 = 5.0 * Math.Log10(distanceToSatellite / 1000.0);

            double arg = Math.Sin(pa) + (Math.PI - pa) * Math.Cos(pa);
            double term_3 = -2.5 * Math.Log10(arg);

            double apparentMagnitude = term_1 + term_2 + term_3;

Esto le dará la magnitud aparente del satélite. Nota: di la fórmula en C #

¡Felicitaciones a @NickBrown por su solución ! Basado en esa ecuación y algunas referencias adicionales, solo agregaré un poco más.

• https://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/785380.pdf
• https://www.researchgate.net/publication/268194552_Large_phase_angle_observations_of_GEO_satellites

Calcular la magnitud visual requiere tres parámetros de entrada

1. qué tan bueno de un reflector es el objeto
2. el ángulo entre la iluminación y la visión
3. las distancias desde el iluminador y el visor son desde el objeto

Para los objetos astronómicos, utilizamos la magnitud absoluta para el elemento n. ° 1, para la visualización por satélite se utilizan tanto la magnitud absoluta como la magnitud intrínseca . La magnitud absoluta es la magnitud visual del objeto a 1 UA del Sol y 1 UA de usted, visto completamente (ángulo de fase = 0), lo que significa que está sentado justo al lado del Sol.

La magnitud intrínseca es similar, pero ahora está a solo 1,000 km del objeto con el Sol sobre su hombro.

De cualquier manera, toda la información sobre el albedo, el tamaño y la forma se agrupa en la magnitud absoluta o intrínseca, dejando solo distancias y ángulos.

El ángulo entre la dirección de la iluminación y la dirección de visualización se llama ángulo de fase . Piensa en las fases de la Luna, por ejemplo. Si el ángulo de fase de la Luna fuera de 90 grados, sería una media luna. Cero sería Luna llena y 180 grados sería Luna nueva.

La modulación del brillo en función del ángulo de fase fue propuesta por Vallerie, EM III, Investigación de datos fotométricos recibidos de un satélite artificial de la Tierra , AD # 419069, Instituto de Tecnología de la Fuerza Aérea, Centro de Documentación de Defensa, Alexandria, Virginia, 1963, que encontré en Observaciones y modelado de satélites GEO en ángulos de fase grandes por Rita L. Cognion, también en Researchgate

La dependencia viene dada por el término

y parece

Para el satélite en la pregunta a una distancia de 483 kilómetros y una magnitud intrínseca de -1.3, la magnitud aparente parece ser aproximadamente -2.0 y su dependencia del ángulo de fase es la siguiente:

No todas las naves espaciales son esféricas con superficies blancas difusas ni esféricas en forma de vaca.

Para la dependencia del ángulo de fase de algunas formas más familiares, consulte la Figura 2 en Magnitud visible de satélites típicos en órbitas síncronas William E. Krag, MIT, 1974 AD-785 380, que describe muy bien el problema.

def Mapparent_from_Mintrinsic(Mint, d_km, pa):
    term_1 = Mint
    term_2 = +5.0 * np.log10(d_km/1000.)
    arg    = np.sin(pa) + (pi - pa) * np.cos(pa)
    term_3 = -2.5 * np.log10(arg)
    return term_1 + term_2 + term_3

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]
degs, rads = 180/pi, pi/180

Mintrinsic   = -1.3
d_kilometers = 483.

phase_angles = np.linspace(0, pi, 181)

Mapp = Mapparent_from_Mintrinsic(Mintrinsic, d_kilometers, phase_angles)

# https://astronomy.stackexchange.com/q/28744/7982
# https://www.researchgate.net/publication/268194552_Large_phase_angle_observations_of_GEO_satellites
# https://amostech.com/TechnicalPapers/2013/POSTER/COGNION.pdf
# https://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/785380.pdf

if True:
    plt.figure()

    F = (1./pi)*(np.sin(phase_angles) + (pi-phase_angles)*np.cos(phase_angles))

    plt.suptitle('F = (1/pi)(sin(phi) + (pi-phi)cos(phi))', fontsize=16)

    plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.plot(degs*phase_angles, F)
    plt.ylabel('F', fontsize=16)

    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.plot(degs*phase_angles, -2.5*np.log10(F))
    plt.xlabel('phase angle (degs)', fontsize=16)
    plt.ylabel('-2.5log10(F)', fontsize=16)
    plt.ylim(-1, 11)

    plt.show()

if True:
    plt.figure()
    plt.plot(degs*phase_angles, Mapp)
    plt.plot(degs*phase_angles[113], Mapp[113], 'ok')
    plt.text(90, -5, '{:0.2f} at {:0.1f} deg'.format(Mapp[113], 113), fontsize=16)
    plt.xlabel('phase angle (degs)', fontsize=16)
    plt.ylabel('mag', fontsize=16)
    plt.title('apparent mag of intrinsic mag=-1.3 at 483 km', fontsize=16)
    plt.ylim(-10, 15)
    plt.show()