Según lo visto desde Marte, ¿cuál es el brillo máximo de Júpiter y Saturno en magnitud aparente?

Desde la Tierra, el brillo máximo de Júpiter es -2.94 y el de Saturno es -0.24. ¿Pero qué hay de Marte? Deberían ser más brillantes, pero ¿por cuánto?

Hay ecuaciones en la entrada de wiki obvia, pero no estoy seguro de entenderlas. Además, me da miedo intentar este cálculo yo mismo porque he oído que este tipo de cosas no siguen la ley del cuadrado inverso. Reflejan luz (no la generan), y leí en alguna parte que debería seguir una ley inversa de la 4ta potencia debido a eso. No veo ninguna cuarta potencia en las ecuaciones de magnitud aparente.

La ley de la cuarta potencia inversa a la que se refiere es válida para la luz emitida desde una fuente, reflejada de forma no especular , es decir, en todas las direcciones, desde un reflector, y detectada por el emisor original. Si el reflector es un espejo, el flujo observado solo sigue la ley normal del cuadrado inverso con el nominador igual a$(2d)^2$ en vez de $d^2$, ya que la luz tiene que ir y venir. Pero si el reflector dispersa la luz en todas las direcciones, es decir, en un$2\pi$ hemisferio - entonces el flujo detectado es $\sim r^2/d^4$, dónde $r$es el radio del reflector (vea esta respuesta para una explicación más detallada).

Un ejemplo de esto es un radar. Pero en nuestro caso, no somos nosotros los que emitimos la luz, es el Sol. La cantidad de luz reflejada por Júpiter y Saturno depende de su distancia al Sol, y esa distancia no cambia si te mudas a Marte. Las distancias relevantes (que obtuve de la Hoja de datos planetarios de la NASA ) son:

• Eje semi-mayor de tierra $d_\mathrm{E} = 1.00\,\mathrm{AU}$
• Afelio de Marte$^\dagger$ $d_\mathrm{M} = 1.64\,\mathrm{AU}$
• Eje semi-mayor de Júpiter $d_\mathrm{J} = 5.20\,\mathrm{AU}$
• Saturno semi-eje mayor $d_\mathrm{S} = 9.58\,\mathrm{AU}$

Ahora las diferencias entre ellos:

• Tierra a Marte $d_\mathrm{M-E} = 0.64\,\mathrm{AU}$
• Tierra a Júpiter $d_\mathrm{J-E} = 4.20 \,\mathrm{AU}$
• Tierra a Saturno $d_\mathrm{S-E} = 8.58\,\mathrm{AU}$
• Marte a Júpiter $d_\mathrm{J-M} = 3.56 \,\mathrm{AU}$
• Marte a Saturno $d_\mathrm{S-M} = 7.94 \,\mathrm{AU}$

Por lo tanto, desde Marte, la distancia a Júpiter es $d_\mathrm{M-J} = 0.85 d_\mathrm{J-E}$, y el flujo recibido es así $1/0.85^2 = 1.4$veces que en la Tierra. El cambio en la magnitud aparente es entonces

Siguiendo el mismo enfoque para Saturno, obtengo $m = -0.41$.

$^\dagger$_{La razón por la que usé el afelio de Marte en lugar del eje semi mayor de Marte es porque Marte tiene una órbita bastante excéntrica ($e\sim0.09$) Sin embargo, Júpiter y Saturno están algo más cerca de las órbitas circulares ($e\sim0.05$) Esto, por supuesto, sigue siendo una aproximación. Si desea tener en cuenta las excentricidades de todas las órbitas, también debe conocer el ángulo entre sus ejes semi-principales. Esto tampoco tiene en cuenta la inclinación de la órbita; sin embargo, estos son solo 1º-2º. Y, por supuesto, esta distancia mínima no se producirá cada año marciano.}