A partir de mayo de 2017, no hay una API de formularios formal en el núcleo de WordPress.
Existe la propuesta de la API de Campos que está trabajando para tener una biblioteca estándar para definir campos de formulario.
El repositorio de la biblioteca se puede encontrar aquí:
https://github.com/sc0ttkclark/wordpress-fields-api
Aunque esta biblioteca está en estado alfa y no se recomienda para producción.
Aquí hay una discusión de los problemas: https://torquemag.io/2016/02/wordpress-needs-fields-api-use/
Ahora WordPress se está moviendo hacia un área de administración más REST API, creo que esta API de Fields es un paso importante para estandarizar el back-end de Wordpress, que para ser honesto lo necesita desesperadamente.
Hasta entonces, la mejor opción es usar uno de los complementos mencionados en las otras respuestas.