Tengo un tipo de publicación personalizada (llamada contactos). Dado que este tipo de publicación no funciona como una publicación, no quiero mostrar GUARDAR BORRADOR, VISTA PREVIA, Estado, Visibilidad o Fecha de publicación.

Las únicas opciones que quiero mostrar son los botones PUBLICAR y Mover a la papelera.

¿Hay alguna manera de ocultar estas otras opciones? Si no, ¿cómo creo un nuevo PUBLISH & Move to Trash que puedo agregar a un nuevo metabox?

Simplemente puede ocultar las opciones usando CSS. Esto agregará una pantalla: ningún estilo a las acciones de publicación miscelánea y menor en las páginas post.php y post-new.php. También busca un tipo de publicación específico, ya que todos los tipos de publicación utilizan estos dos archivos.

function hide_publishing_actions(){
        $my_post_type = 'POST_TYPE';
        global $post;
        if($post->post_type == $my_post_type){
            echo '
                <style type="text/css">
                    #misc-publishing-actions,
                    #minor-publishing-actions{
                        display:none;
                    }
                </style>
            ';
        }
}
add_action('admin_head-post.php', 'hide_publishing_actions');
add_action('admin_head-post-new.php', 'hide_publishing_actions');

En este ejemplo, puede establecer fácilmente en qué tipos de publicación desea ocultar las opciones de publicación, el ejemplo las oculta para el tipo de tipo de macetas integradas pagey el tipo de publicación personalizada cpt_portfolio.

/**
 * Hides with CSS the publishing options for the types page and cpt_portfolio
 */
function wpse_36118_hide_minor_publishing() {
    $screen = get_current_screen();
    if( in_array( $screen->id, array( 'page', 'cpt_portfolio' ) ) ) {
        echo '<style>#minor-publishing { display: none; }</style>';
    }
}

// Hook to admin_head for the CSS to be applied earlier
add_action( 'admin_head', 'wpse_36118_hide_minor_publishing' );

Actualización importante

También te sugiero que fuerces un estado de publicación de "Publicado" para evitar guardar publicaciones como borradores:

/**
 * Sets the post status to published
 */
function wpse_36118_force_published( $post ) {
    if( 'trash' !== $post[ 'post_status' ] ) { /* We still want to use the trash */
        if( in_array( $post[ 'post_type' ], array( 'page', 'cpt_portfolio' ) ) ) {
            $post['post_status'] = 'publish';
        }
        return $post;
    }
}

// Hook to wp_insert_post_data
add_filter( 'wp_insert_post_data', 'wpse_36118_force_published' );