No creo que vaya a encontrar una manera de hacer esto, ya que VS necesita generar el proceso del navegador bajo su control para que pueda engancharlo y le permita depurar. De esta manera, también sabe cuándo ha terminado la depuración (cerró ese proceso específico del navegador).
Del otro lado: un día estaba navegando en mi navegador de depuración lanzado por VS (me salí del proyecto que estaba depurando), y después de usarlo para buscar en Google por un tiempo, Google comenzó a quejarse "Lo sentimos pero su computadora o red puede estar enviando consultas automáticas. Para proteger a nuestros usuarios, no podemos procesar su solicitud en este momento ". :)