Obtuvo el nombre de servidor DNS incorrecto que está en otra subred

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Entonces la red funciona de la siguiente manera: 

My PC ---(Ethernet) Raspberry Pi (wlan) --- Router

En el RPi corro un Busybox Linux. Para el dhcpd.conf en eth0 del RPi, configuro la opción dns 8.8.8.8. Construyo un nat entre Ethernet y WLAN.

Pero extraño, después de conectar el RPi con el enrutador, no puedo visitar internet con mi PC, pero puedo hacer ping al 8.8.8.8. Luego verifiqué el servidor DNS, muestra que el nombre del servidor DNS en mi PC es "192.168.1.1", y es la IP de su Router, que está en otra subred y, por supuesto, mi PC no puede encontrarlo.

¿Qué tengo que hacer? Parece que tengo que configurar un proxy dns en el RPi? ¿O cómo se podría pasar el nombre de servidor DNS correctamente en este caso?

networking dns J.R.
fuente
Si la PC puede acceder a Internet, ¿por qué no puede encontrar el servidor DNS?
Johan Myréen
@ JohanMyréen La cosa es que el nombre del servidor DNS en la PC aparece como "192.168.1.1", que es la IP del enrutador. Y es una IP local no pública.
J.R.
¿Por qué importaría si la IP es una dirección privada (RFC1819)? Otra pregunta interesante es: ¿de dónde obtiene la PC esta dirección DNS? ¿Cómo se configura la configuración de red en la PC? ¿Funciona el RPi como servidor DHCP o la configuración de IP estática en la PC? Si el RPi funciona como un enrutador, entonces la PC no puede usar un servidor DHCP en el lado wlan.
Johan Myréen