Explicación intuitiva de la estacionariedad.

Estuve luchando con la estacionaria en mi cabeza por un tiempo ... ¿Es así como piensas al respecto? Cualquier comentario o pensamiento adicional será apreciado.

El proceso estacionario es el que genera valores de series temporales de modo que la media de distribución y la varianza se mantienen constantes. Estrictamente hablando, esto se conoce como forma débil de estacionariedad o covarianza / estacionariedad media.

La forma débil de estacionariedad es cuando la serie temporal tiene una media y una varianza constantes a lo largo del tiempo.

En pocas palabras, los profesionales dicen que la serie de tiempo estacionaria es la que no tiene tendencia: fluctúa alrededor de la media constante y tiene una varianza constante.

La covarianza entre diferentes rezagos es constante, no depende de la ubicación absoluta en las series de tiempo. Por ejemplo, la covarianza entre t y t-1 (retraso de primer orden) siempre debe ser la misma (para el período 1960-1970 igual que para el período 1965-1975 o cualquier otro período).

En los procesos no estacionarios no hay una media a largo plazo a la que se revierta la serie; entonces decimos que las series de tiempo no estacionarias no significan revertir. En ese caso, la varianza depende de la posición absoluta en las series de tiempo y la varianza llega al infinito a medida que pasa el tiempo. Técnicamente hablando, las auto-correlaciones no se descomponen con el tiempo, pero en pequeñas muestras desaparecen, aunque lentamente.

En procesos estacionarios, los choques son temporales y se disipan (pierden energía) con el tiempo. Después de un tiempo, no contribuyen a los nuevos valores de series temporales. Por ejemplo, algo que sucedió hace tiempo (lo suficientemente largo) como la Segunda Guerra Mundial, tuvo un impacto, pero, si la serie de tiempo de hoy es la misma que si la Segunda Guerra Mundial nunca ocurriera, diríamos que el choque perdió su energía o disipado La estacionariedad es especialmente importante ya que muchas teorías econométricas clásicas se derivan de los supuestos de estacionariedad.

Una forma fuerte de estacionariedad es cuando la distribución de una serie temporal es exactamente el mismo tiempo mínimo. En otras palabras, la distribución de series de tiempo originales es exactamente la misma que la de series de tiempo rezagadas (por cualquier número de rezagos) o incluso subsegmentos de las series de tiempo. Por ejemplo, la forma fuerte también sugiere que la distribución debería ser la misma incluso para los subsegmentos 1950-1960, 1960-1970 o incluso períodos superpuestos como 1950-1960 y 1950-1980. Esta forma de estacionariedad se llama fuerte porque no asume ninguna distribución. Solo dice que la distribución de probabilidad debería ser la misma. En el caso de estacionariedad débil, definimos la distribución por su media y varianza. Podríamos hacer esta simplificación porque implícitamente asumimos una distribución normal, y la distribución normal está completamente definida por su media y varianza o desviación estándar. Esto no es más que decir que la medida de probabilidad de la secuencia (dentro de series temporales) es la misma que para la secuencia de valores rezagada / desplazada dentro de las mismas series temporales.

En primer lugar, es importante tener en cuenta que la estacionariedad es una propiedad de un proceso, no de una serie temporal. Considera el conjunto de todas las series de tiempo generadas por un proceso. Si las propiedades estadísticas de este conjunto (media, varianza, ...) son constantes en el tiempo, el proceso se llama estacionario. Estrictamente hablando, es imposible decir si una serie temporal dada fue generada por un proceso estacionario (sin embargo, con algunas suposiciones, podemos adivinar).

Más intuitivamente, la estacionariedad significa que no hay puntos distinguidos en el tiempo para su proceso (que influyen en las propiedades estadísticas de su observación). Si esto se aplica a un proceso determinado depende de manera crucial de lo que usted considera como fijo o variable para su proceso, es decir, lo que está contenido en su conjunto.

Una causa típica de no estacionariedad son los parámetros dependientes del tiempo, que permiten distinguir los puntos de tiempo por los valores de los parámetros. Otra causa son las condiciones iniciales fijas.

Considere los siguientes ejemplos:

• El ruido que llega a mi casa desde un solo automóvil que pasa en un momento dado no es un proceso estacionario. Por ejemplo, la amplitud promedio² es más alta cuando el automóvil está directamente al lado de mi casa.

• El ruido que llega a mi casa por el tráfico de la calle en general es un proceso estacionario, si ignoramos la dependencia del tiempo de la intensidad del tráfico (por ejemplo, menos tráfico por la noche o los fines de semana). Ya no hay puntos distinguidos en el tiempo. Si bien puede haber fuertes fluctuaciones de series de tiempo individuales, estas desaparecen cuando considero el conjunto de todas las realizaciones del proceso.

• Si incluimos los impactos conocidos sobre la intensidad del tráfico, por ejemplo, que hay menos tráfico por la noche, el proceso no es estacionario nuevamente: la amplitud promedio² varía con un ritmo diario. Cada punto en el tiempo se distingue por la hora del día.

• La posición de un solo grano de pimienta en una olla de agua hirviendo es un proceso estacionario (ignorando la pérdida de agua debido a la evaporación). No hay puntos distinguidos en el tiempo.

• La posición de un solo grano de pimienta en una olla de agua hirviendo que cae en el medio exacto en no es un proceso estacionario, ya que es un punto distinguido en el tiempo. La posición promedio del grano de pimienta siempre está en el medio (suponiendo una olla simétrica sin direcciones distinguidas), pero en (con pequeño), podemos estar seguros de que el grano de pimienta está en algún lugar cerca del medio para cada realización del proceso. , mientras que en un momento posterior, también puede estar más cerca del borde de la olla.$t=0$$t=0$$t=ε$$ε$

  Entonces, la distribución de posiciones cambia con el tiempo. Para dar un ejemplo específico, la desviación estándar crece. La distribución converge rápidamente con las distribuciones respectivas del ejemplo anterior y si solo miramos este proceso para con una suficientemente alta , podemos descuidar la no estacionariedad y aproximarla como un proceso estacionario para todos los propósitos: El impacto de la condición inicial se ha desvanecido.$t>T$$T$

^{¹ Para fines prácticos, esto a veces se reduce a la media y la varianza (estacionariedad débil), pero no considero que esto sea útil para comprender el concepto. Simplemente ignore la estacionariedad débil hasta que haya entendido la estacionariedad.
² Cuál es la media del volumen, pero la desviación estándar de la señal de sonido real (no se preocupe demasiado por esto aquí).}

Para mayor claridad, agregaría que cualquier serie de tiempo donde los puntos de datos se distribuyen normalmente a través del tiempo con una media constante y la varianza se considera una serie de tiempo estacionaria fuerte ya que dada la media y la desviación estándar, la distribución normal siempre tendrá la misma curva de distribución de probabilidad ( las entradas a la ecuación normal solo dependen de la media y la desviación estándar).

Este no es el caso con una distribución t, por ejemplo, donde una entrada a la ecuación de distribución t es gamma, lo que afecta la forma de la curva de distribución a pesar de una media constante y una desviación estándar constante.