¿Funciona la modularidad de red de Newman para gráficos ponderados y firmados?

La modularidad de un gráfico se define en su página de Wikipedia . En una publicación diferente , alguien explicó que la modularidad se puede calcular fácilmente (y maximizar) para redes ponderadas porque la matriz de adyacencia puede contener lazos valorados. Sin embargo, me gustaría saber si esto también funcionaría con bordes firmados y valorados, que van, por ejemplo, de -10 a +10. ¿Puede proporcionar una intuición, prueba o referencia sobre este tema?$A_{ij}$

La generalización directa de la modularidad para redes ponderadas no funciona si esos pesos están firmados. Por simple, quiero decir: simplemente usando la matriz de peso en lugar de la adyacente, como lo hace Newman, por ejemplo, en (Newman 2004) . Necesita una versión específica, como la citada por BenjaminLind, o la de (Gomez et al. 2009) .

En ambos artículos, explican la razón de esto. En resumen: la modularidad se basa en el hecho de que algunos grados normalizados (o fortalezas en el caso de redes ponderadas) pueden considerarse como probabilidades. La probabilidad existe un enlace entre los nodos y se estima utilizando , donde y son los puntos fuertes respectivos de nodos y y es la fuerza total sobre todos los nodos de red. Si algunos pesos son negativos, entonces la normalización original ya no garantiza tener valores en , por lo que el anterior$i$$j$$p_ip_j=w_iw_j/(2w)^2$$w_i$$w_j$$i$$j$$w$$[0,1]$$p_ip_j$ la cantidad no puede considerarse como una probabilidad.

Para resolver este problema, Gómez et al . considere los enlaces positivos y negativos por separado. Obtienen dos valores de modularidad distintos: uno para los enlaces positivos y otro para los negativos. Restan lo último de lo primero para obtener la modularidad general.

Sí puede. Los modelos de vidrio giratorio para detección comunitaria pueden calcular la modularidad a partir de gráficos ponderados y firmados. Querrá Traag y Bruggeman "Detección de la comunidad en redes con enlaces positivos y negativos" como referencia. La función "spinglass.community ()" en igraph puede encontrar las comunidades y devolver la modularidad del gráfico.

Hemos señalado el problema de las funciones de Modularidad [similar] con redes firmadas en este documento . Tienden a ignorar más la densidad positiva de las comunidades a medida que aumenta el número absoluto de enlaces negativos en la red.

Además, aquí está nuestro proyecto Java de código abierto para redes con firma ponderada, que se basa en el Modelo Constant Potts (similar a la Modularidad), el algoritmo rápido de Lovaina y la evaluación de la comunidad basada en una extensión de la Ecuación de Mapa .

Esmailian, P. y Jalili, M., 2015. Detección comunitaria en redes firmadas: el papel de los lazos negativos en diferentes escalas. Informes científicos, 5, p.14339