Explicando la descomposición de beveridge nelson

¿Alguien puede explicar cómo funciona la descomposición de Beveridge-Nelson? Hasta ahora, todo lo que sé es que estima los ciclos de tendencia en datos de series temporales no estacionarias.

Miré varios artículos de revistas y todavía estoy confundido sobre cómo funciona http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

La descomposición de Beveridge-Nelson es una descomposición del proceso . Tal proceso tiene una raíz unitaria:$ARIMA(p,1,q)$

$$y_t=y_{t-1}+u_{t},$$

pero no es un proceso de ruido blanco, es un proceso . Lo que observaron Beveridge y Nelson en su artículo original es que es posible descomponer este proceso en dos partes:$u_t$$ARMA(p,q)$

$$y_t=\tau_t+\xi_t,$$

donde es ahora una caminata aleatoria "pura", es decir, , donde es un proceso de ruido blanco. El término es otro proceso estacionario. Esta descomposición es identidad algebraica (los detalles a continuación), pero puede conducir a interpretaciones interesantes.$\tau_t$$\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$\xi_t$

La declaración precisa. Deje , donde es un proceso de ruido blanco y . Entonces$u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$$\varepsilon_t$$\sum j|\psi_j|<\infty$

$$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$$

dónde

$$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$$

Esta descomposición tiene una buena aplicación, por ejemplo

$$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$$

donde aplicamos el teorema del límite central para el primer término y observamos que el segundo término va a cero, debido a la estacionariedad (la media es cero y la varianza del término va a cero, debido a T en el denominador).

Entonces obtenemos que el comportamiento limitante del proceso ARIMA (p, 1, q) es simplemente el mismo que para un proceso ARIMA (0,1,0). Este hecho se usa mucho en la literatura de series de tiempo. Por ejemplo, la prueba de raíz unitaria de Phillips y Perron se basa en ella.