¿Qué significa "diseño" en matriz de diseño?

En regresión lineal, , ¿por qué X se llama matriz de diseño? ¿Se puede diseñar o construir X arbitrariamente hasta cierto punto como en el arte?$Y= X\beta$$X$$X$

$2^3$$2^3=8$

$$\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} A & B & C \\ \end{array} \right].$$

$$\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} I & A & B & C & AB & AC & BC & ABC \\ \end{array} \right].$$

Citas

Montgomery, D. (2009). Diseño y Análisis de Experimentos, 7ª Edición. John Wiley & Sons Inc.

$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

El diseño de experimentos se centra en cómo construir la matriz de diseño y la matriz del modelo, ya que ocurre antes de que se recopilen los datos. Si los datos ya están recopilados, el diseño se establece en piedra, pero aún puede cambiar la matriz del modelo. A veces, un experimento diseñado tendrá en la matriz de diseño ciertas columnas fijas llamadas covariables que no puede controlar pero que puede observar.

Hay algunas cosas que pueden suceder dependiendo de su elección de modelo y diseño ... ciertos parámetros pueden ser difíciles de estimar (variaciones más grandes del estimador) o es posible que no pueda estimar ciertos parámetros en absoluto. Diría que decidir sobre un modelo apropiado tiene algunos elementos de arte, y ciertamente hay un arte para diseñar experimentos.

$X$$X$$X$$\beta$

$X$

¿Se puede diseñar o construir X arbitrariamente en algún grado como en el arte?

Básicamente, esta pregunta se reduce a "¿puede construir un modelo entrenado en datos fabricados" a la que la respuesta es obviamente sí. Por ejemplo, aquí hay una forma de construir una matriz de diseño arbitraria (vector de diseño, realmente) que dará un modelo con una pendiente e intercepción predefinidas:

design_mat=function(b, a){
  X = runif(100)
  Y = a*X + b
  data.frame(X,Y)
}

df = design_mat(-5, 12.3)

(lm(Y~X, data=df))

Call:
lm(formula = Y ~ X, data = df)

Coefficients:
(Intercept)            X  
       -5.0         12.3  

$X = \frac{Y-b}{a}$