Parámetros de distribución de Weibull

Hola, se puede mostrar lo mismo para obtener parámetros de forma y escala para el método modificado de máxima verosimilitud

Debido a que @zaynah publicó en los comentarios que se cree que los datos siguen una distribución de Weibull, voy a proporcionar un breve tutorial sobre cómo estimar los parámetros de dicha distribución usando MLE (Estimación de máxima verosimilitud). Hay una publicación similar sobre las velocidades del viento y la distribución de Weibull en el sitio.

1. Descargue e instaleR , es gratis
2. Opcional: descargue e instale RStudio , que es un gran IDE para R que proporciona un montón de funciones útiles, como resaltado de sintaxis y más.
3. Instalar los paquetes MASSy carescribiendo: install.packages(c("MASS", "car")). Cárguelos escribiendo: library(MASS)y library(car).
4. Importa tus datos aR . Si tiene sus datos en Excel, por ejemplo, guárdelos como archivo de texto delimitado (.txt) e impórtelos Rconread.table .
5. Utilice la función fitdistrpara calcular las estimaciones de máxima verosimilitud de la distribución de Weibull: fitdistr(my.data, densfun="weibull", lower = 0). Para ver un ejemplo completamente resuelto, vea el enlace al final de la respuesta.
6. Realice un QQ-Plot para comparar sus datos con una distribución de Weibull con los parámetros de escala y forma estimados en el punto 5: qqPlot(my.data, distribution="weibull", shape=, scale=)

El tutorial de Vito Ricci sobre la distribución de ajustes Res un buen punto de partida al respecto. Y hay numerosas publicaciones en este sitio sobre el tema (vea esta publicación también).

Para ver un ejemplo completo de cómo usarlo fitdistr, eche un vistazo a esta publicación .

Veamos un ejemplo en R:

# Load packages

library(MASS)
library(car)

# First, we generate 1000 random numbers from a Weibull distribution with
# scale = 1 and shape = 1.5

rw <- rweibull(1000, scale=1, shape=1.5)

# We can calculate a kernel density estimation to inspect the distribution
# Because the Weibull distribution has support [0,+Infinity), we are truncate
# the density at 0

par(bg="white", las=1, cex=1.1)
plot(density(rw, bw=0.5, cut=0), las=1, lwd=2,
xlim=c(0,5),col="steelblue")

# Now, we can use fitdistr to calculate the parameters by MLE
# The option "lower = 0" is added because the parameters of the Weibull distribution need to be >= 0

fitdistr(rw, densfun="weibull", lower = 0)

     shape        scale   
  1.56788999   1.01431852 
 (0.03891863) (0.02153039)

Las estimaciones de máxima verosimilitud son cercanas a las que establecemos arbitrariamente en la generación de los números aleatorios. Comparemos nuestros datos usando un QQ-Plot con una distribución hipotética de Weibull con los parámetros que hemos estimado con fitdistr:

qqPlot(rw, distribution="weibull", scale=1.014, shape=1.568, las=1, pch=19)

Los puntos están bien alineados en la línea y principalmente dentro del sobre de confianza del 95%. Llegaríamos a la conclusión de que nuestros datos son compatibles con una distribución de Weibull. Esto era de esperar, por supuesto, ya que hemos muestreado nuestros valores de una distribución de Weibull.

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Estimar la (forma) yc (escala) de una distribución de Weibull sin MLE$k$$c$

Este papel enumera cinco métodos para estimar los parámetros de una distribución de Weibull para las velocidades del viento. Voy a explicar tres de ellos aquí.

De medias y desviación estándar

$k$

$$k=\left(\frac{\hat{\sigma}}{\hat{v}}\right)^{-1.086}$$ $c$ $$c=\frac{\hat{v}}{\Gamma(1+1/k)}$$ $\hat{v}$$\hat{\sigma}$$\Gamma$ .

Los mínimos cuadrados se ajustan a la distribución observada

$n$$0-V_{1},V_{1}-V_{2},\ldots, V_{n-1}-V_{n}$, teniendo frecuencias de ocurrencia $f_{1}, f_{2},\ldots,f_{n}$ y frecuencias acumulativas $p_{1}=f_{1}, p_{2}=f_{1}+f_{2}, \ldots, p_{n}=p_{n-1}+f_{n}$, then you can fit a linear regression of the form $y=a+bx$ to the values

$$x_{i} = \ln(V_{i})$$ $$y_{i} = \ln[-\ln(1-p_{i})]$$ The Weibull parameters are related to the linear coefficients $a$ and $b$ by $$c=\exp\left(-\frac{a}{b}\right)$$ $$k=b$$

Median and quartile wind speeds

If you don't have the complete observed wind speeds but the median $V_{m}$ and quartiles $V_{0.25}$ and $V_{0.75}$ $\left[p(V\leq V_{0.25})=0.25, p(V\leq V_{0.75})=0.75\right]$, then $c$ and $k$ can be computed by the relations

$$k = \ln\left[\ln(0.25)/\ln(0.75)\right]/\ln(V_{0.75}/V_{0.25})\approx 1.573/\ln(V_{0.75}/V_{0.25})$$ $$c=V_{m}/\ln(2)^{1/k}$$

Comparación de los cuatro métodos.

Aquí hay un ejemplo al Rcomparar los cuatro métodos:

library(MASS)  # for "fitdistr"

set.seed(123)
#-----------------------------------------------------------------------------
# Generate 10000 random numbers from a Weibull distribution
# with shape = 1.5 and scale = 1
#-----------------------------------------------------------------------------

rw <- rweibull(10000, shape=1.5, scale=1)

#-----------------------------------------------------------------------------
# 1. Estimate k and c by MLE
#-----------------------------------------------------------------------------

fitdistr(rw, densfun="weibull", lower = 0)
shape         scale   
1.515380298   1.005562356 

#-----------------------------------------------------------------------------
# 2. Estimate k and c using the leas square fit
#-----------------------------------------------------------------------------

n <- 100 # number of bins
breaks <- seq(0, max(rw), length.out=n)

freqs <- as.vector(prop.table(table(cut(rw, breaks = breaks))))
cum.freqs <- c(0, cumsum(freqs)) 

xi <- log(breaks)
yi <- log(-log(1-cum.freqs))

# Fit the linear regression
least.squares <- lm(yi[is.finite(yi) & is.finite(xi)]~xi[is.finite(yi) & is.finite(xi)])
lin.mod.coef <- coefficients(least.squares)

k <- lin.mod.coef[2]
k
1.515115
c <- exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2])
c
1.006004

#-----------------------------------------------------------------------------
# 3. Estimate k and c using the median and quartiles
#-----------------------------------------------------------------------------

med <- median(rw)
quarts <- quantile(rw, c(0.25, 0.75))

k <- log(log(0.25)/log(0.75))/log(quarts[2]/quarts[1])
k
1.537766
c <- med/log(2)^(1/k)
c
1.004434

#-----------------------------------------------------------------------------
# 4. Estimate k and c using mean and standard deviation.
#-----------------------------------------------------------------------------

k <- (sd(rw)/mean(rw))^(-1.086)
c <- mean(rw)/(gamma(1+1/k))
k
1.535481
c
1.006938

Todos los métodos producen resultados muy similares. El enfoque de máxima verosimilitud tiene la ventaja de que los errores estándar de los parámetros de Weibull se dan directamente.

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Usando bootstrap para agregar intervalos de confianza puntuales al PDF o CDF

Podemos usar un bootstrap no paramétrico para construir intervalos de confianza puntuales alrededor del PDF y el CDF de la distribución estimada de Weibull. Aquí hay un Rguión:

#-----------------------------------------------------------------------------
# 5. Bootstrapping the pointwise confidence intervals
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set.seed(123)

rw.small <- rweibull(100,shape=1.5, scale=1)

xs <- seq(0, 5, len=500)


boot.pdf <- sapply(1:1000, function(i) {
  xi <- sample(rw.small, size=length(rw.small), replace=TRUE)
  MLE.est <- suppressWarnings(fitdistr(xi, densfun="weibull", lower = 0))  
  dweibull(xs, shape=as.numeric(MLE.est[[1]][13]), scale=as.numeric(MLE.est[[1]][14]))
}
)

boot.cdf <- sapply(1:1000, function(i) {
  xi <- sample(rw.small, size=length(rw.small), replace=TRUE)
  MLE.est <- suppressWarnings(fitdistr(xi, densfun="weibull", lower = 0))  
  pweibull(xs, shape=as.numeric(MLE.est[[1]][15]), scale=as.numeric(MLE.est[[1]][16]))
}
)   

#-----------------------------------------------------------------------------
# Plot PDF
#-----------------------------------------------------------------------------

par(bg="white", las=1, cex=1.2)
plot(xs, boot.pdf[, 1], type="l", col=rgb(.6, .6, .6, .1), ylim=range(boot.pdf),
     xlab="x", ylab="Probability density")
for(i in 2:ncol(boot.pdf)) lines(xs, boot.pdf[, i], col=rgb(.6, .6, .6, .1))

# Add pointwise confidence bands

quants <- apply(boot.pdf, 1, quantile, c(0.025, 0.5, 0.975))
min.point <- apply(boot.pdf, 1, min, na.rm=TRUE)
max.point <- apply(boot.pdf, 1, max, na.rm=TRUE)
lines(xs, quants[1, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[3, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[2, ], col="darkred", lwd=2)
#lines(xs, min.point, col="purple")
#lines(xs, max.point, col="purple")

#-----------------------------------------------------------------------------
# Plot CDF
#-----------------------------------------------------------------------------

par(bg="white", las=1, cex=1.2)
plot(xs, boot.cdf[, 1], type="l", col=rgb(.6, .6, .6, .1), ylim=range(boot.cdf),
     xlab="x", ylab="F(x)")
for(i in 2:ncol(boot.cdf)) lines(xs, boot.cdf[, i], col=rgb(.6, .6, .6, .1))

# Add pointwise confidence bands

quants <- apply(boot.cdf, 1, quantile, c(0.025, 0.5, 0.975))
min.point <- apply(boot.cdf, 1, min, na.rm=TRUE)
max.point <- apply(boot.cdf, 1, max, na.rm=TRUE)
lines(xs, quants[1, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[3, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[2, ], col="darkred", lwd=2)
lines(xs, min.point, col="purple")
lines(xs, max.point, col="purple")