Teorema de Gauss-Markov: AZUL y OLS

Estoy leyendo el teorema de Guass-Markov en Wikipedia , y esperaba que alguien pudiera ayudarme a descubrir el punto principal del teorema.

Suponemos un modelo lineal, en forma de matriz, está dada por: y que estamos buscando la BLUE, β .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

De acuerdo con esto , yo etiquetar la y "residual" ε = β - β el "error". (Es decir, lo contrario del uso en la página de Gauss-Markov).$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

El estimador de MCO (mínimos cuadrados ordinarios) puede derivarse como el armin de .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Ahora, deje que denote el operador de expectativa. Según tengo entendido, lo que nos dice el teorema de Gauss-Markov es que, si E ( η ) = 0 y Var ( η ) = σ 2 I , entonces el argumento, sobre todos los estimadores lineales e imparciales, de E ( | | error | | 2 2 ) = E ( | | ε | | 2 2 ) viene dada por la misma expresión que el estimador OLS.$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

Es decir

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

¿Es correcto mi entendimiento? Y si es así, ¿diría que merece un énfasis más destacado en el artículo?

$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

La prueba de que el estimador OLS es imparcial se puede encontrar aquí http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

$Var(\hat{\beta})$

Parece que mi presentimiento era correcto, como se confirmó, por ejemplo, en la página 375 del libro Introductory Econometrics . Extracto relevante: