¿Qué se entiende por "nivel" de una serie temporal?

En gran parte de la literatura que estoy estudiando, es uno de esos términos que ocurre con frecuencia pero sin una definición rigurosa. Específicamente, me dicen:

Para variables aleatorias indexadas en el tiempo (RV) $\{X_t\}$, el modelo de descomposición aditiva se da como

$$X_t = {ll}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) + {fc}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, \varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \ldots)$$

dónde

• $ll$es el nivel a largo plazo , que es un proceso estocástico y se puede visualizar como una versión suavizada de$\{X_t\}$, no debe confundirse con las tendencias que son patrones deterministas
• $fc$es el componente de fluctuación que representa cambios en el nivel local , estacionario asumido y con nivel medio cero
• $\{\varepsilon_t\}$son innovaciones y son vehículos recreativos de media cero IID

Pero, ¿cuál es la diferencia de significado entre tendencia vs. nivel a largo plazo vs. nivel local vs. nivel medio ?

Además, ¿no son el componente de fluctuación y las innovaciones que modelan lo mismo, cuál es el ruido asociado con cada observación? Entonces, ¿por qué complicar las cosas al incluir ambos?

Esto tiene que ver con el orden de integración . Un proceso estocástico$X_t$ se dice que está integrado de orden $0$, equivalentemente $X_t$~$I(0)$si es estacionario Si$X_t$~$I(d)$ con $d>0, d \in \mathbb{N}$, se dice que el proceso está integrado por orden $d$y entonces no es estacionario. La descomposición anterior intenta filtrar los componentes estacionarios (como componente de fluctuación e innovaciones) y el componente de tendencia estocástica no estacionaria. Una tendencia estocástica es diferente de una tendencia determinista , y el uso de la palabra tendencia en el pasaje es descuidado.

Ahora, esto hace que todo suene más complicado de lo que es. Consideremos un ejemplo. Tomar$\varepsilon_t$~$(0,\sigma^2)$ como un proceso de ruido blanco y dejar $\varepsilon_t$ ser $iid$. Defina el siguiente polinomio de retraso

$$\begin{align} C_1(L) &= 0.5L + 0.25L^2 -0.75L^3 -0.05 L^4 \\ \end{align}$$

El operador de retraso $L$ funciona en variables aleatorias indexadas en el tiempo como $L^k\varepsilon:=\varepsilon_{t-k}$. Supongamos ahora además que$X_t$ se genera como

$$\begin{align} X_t = X_{t-1} + C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t \end{align}$$

Luego, usando la terminología de su extracto, el nivel a largo plazo estaría definido por $X_{t-1}$, el componente estacional / fluctuación por $C_1(L)\varepsilon_t$ y las innovaciones de $\varepsilon_t$. Como se describe en el extracto, el componente de fluctuación y las innovaciones son estacionarias.

La razón por la que se llama así es algo difícil de ver sin hacer más comentarios y se relaciona con el orden de integración antes mencionado. Por lo general, no encontramos procesos integrados de pedidos superiores a$1$ o $2$, así que consideremos el ejemplo anterior de orden de integración $1$.

Primero de definir $u_t := C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$. $u_t$ es estacionario, entonces $u_t$~$I(0)$. Ahora podemos escribir

$$\begin{align} X_t &= X_{t-1} + u_t \Longleftrightarrow\\ X_t - X_{t-1} &= (1-L)X_t = \Delta X_t = u_t \\ \end{align}$$ esto nos dice que $X_t$~$I(1)$, porque su primera diferencia está integrada de orden $0$. El significado de esto podría ser difícil de entender, hasta que uno se dé cuenta de lo que$\Delta X_t = u_t$en realidad significa Significa que uno puede reescribir $$\begin{align} X_t &= \sum_{i=1}^{\infty} \Delta X_t = \sum_{i=1}^{\infty} u_t\\ \end{align}$$ Esto podría no parecer dramático: $\mathbb{E}(X_t) = 0$, ¡después de todo! Sin embargo, la variación de este proceso no es finita y explota a$\infty$. Es por eso que decimos que el término define una tendencia estocástica: si bien no es determinista (como, por ejemplo, una tendencia lineal),$X_t$ solo será estacionario una vez que hayamos filtrado el componente no estacionario y lo restemos de $X_{t}$. (En este caso, como se observó anteriormente,$\Delta X_t = X_t - X_{t-1}=C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$ habría filtrado el componente no estacionario y sería estacionario.) Si no hace esto, sus procedimientos habituales de inferencia estadística ya no funcionan, ya que $X_{t}$convergerá a un movimiento browniano por el principio de invariancia / Teorema del límite funcional central. Estos resultados reemplazan los resultados de CLR estándar para Autoregresiones, problemas de cointegración, etc.