¿Cuál es la diferencia entre distribuciones "limitantes" y "estacionarias"?

Estoy haciendo una pregunta sobre las cadenas de Markov y las dos últimas partes dicen esto:

• ¿Esta cadena de Markov posee una distribución limitante? Si su respuesta es "sí", encuentre la distribución limitante. Si su respuesta es "no", explique por qué.
• ¿Esta cadena de Markov posee una distribución estacionaria? Si su respuesta es "sí", encuentre la distribución estacionaria. Si su respuesta es "no", explique por qué.

¿Cuál es la diferencia? Anteriormente, pensé que la distribución límite estaba cuando se trabaja a cabo utilizando , pero esto es la 'th matriz de transición paso. Calcularon la distribución limitante usando , que pensé que era la distribución estacionaria. n Π = Π $P = CA^n C^{-1}$$n$$\Pi = \Pi P$

¿Cuál es cuál entonces?

De una introducción al modelado estocástico de Pinsky y Karlin (2011):

π = (

$$\mathbf{P}=\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|$$ ($\pi=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ $$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

En una sección anterior, ya habían definido una " distribución de probabilidad limitante " por$\pi$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P_{ij}^{(n)}=\pi_j~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$$

y equivalente

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}=\pi_j>0~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$$ (p. 165).

El ejemplo anterior oscila de manera determinista y, por lo tanto, no tiene un límite de la misma manera que la secuencia no tiene un límite.$\{1,0,1,0,1,\dots\}$

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Afirman que una cadena de Markov regular (en la que todas las probabilidades de transición de n pasos son positivas) siempre tiene una distribución limitante, y demuestran que debe ser la única solución no negativa para

$$\pi_j=\sum_{k=0}^N\pi_kP_{kj},~~j=0,1,\dots,N,\\ \sum_{k=0}^N\pi_k=1$$ (p. 168 )

Luego, en la misma página que el ejemplo, escriben

Cualquier conjunto satisface (4.27) se denomina distribución de probabilidad estacionaria de la cadena de Markov. El término "estacionario" se deriva de la propiedad de que una cadena de Markov comenzó de acuerdo con una distribución estacionaria seguirá esta distribución en todos los puntos de tiempo. Formalmente, si , entonces para todos los .$(\pi_i)_{i=0}^{\infty}$$\operatorname{Pr}\{X_0=i\}=\pi_i$$\operatorname{Pr}\{X_n=i\}=\pi_i$$n=1,2,\dots$

donde (4.27) es el conjunto de ecuaciones

$$\pi_i \geq 0, \sum_{i=0}^{\infty} \pi_i=1,~\mathrm{and}~\pi_j = \sum_{i=0}^{\infty} \pi_iP_{ij}.$$

que es precisamente la misma condición de estacionariedad que la anterior, excepto ahora con un número infinito de estados.

Con esta definición de estacionariedad, la declaración en la página 168 puede reexpresarse retroactivamente como:

1. La distribución limitante de una cadena regular de Markov es una distribución estacionaria.
2. Si la distribución limitante de una cadena de Markov es una distribución estacionaria, entonces la distribución estacionaria es única.

Una distribución estacionaria es tal distribución que si la distribución sobre los estados en el paso k es π , entonces también la distribución sobre los estados en el paso k + 1 es π . Es decir, π = π P . Una distribución limitante es tal distribución π que no importa cuál sea la distribución inicial, la distribución sobre los estados converge a π a medida que el número de pasos va al infinito: lim k → ∞ π ( 0 ) P k = π $\pi$$k$$\pi$$k+1$$\pi$

$$\begin{equation} \pi = \pi P. \end{equation}$$ $\pi$$\pi$ $$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty} \pi^{(0)} P^k = \pi, \end{equation}$$ independiente de . Por ejemplo, consideremos una cadena de Markov cuyos dos estados son los lados de una moneda, { h e a d s , t a i l s } . Cada paso consiste en poner la moneda al revés (con probabilidad 1). Tenga en cuenta que cuando calculamos las distribuciones de estado, no son condicionales a los pasos anteriores, es decir, el tipo que calcula las probabilidades no ve la moneda. Entonces, la matriz de transición es P = ( 0 1 1 0 ) . Si primero inicializamos la moneda volteándola al azar ( $\pi^{(0)}$$\{heads, tails\}$ $$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}$$ ), entonces también todos los pasos de tiempo subsiguientes siguen esta distribución. (Si lanza una moneda justa y luego la pone boca abajo, la probabilidad de obtener caras sigue siendo0.5). Por lo tanto, ( 0.5 0.5 ) es una distribución estacionaria para esta cadena de Markov.$\pi^{(0)} = \begin{pmatrix}0.5 & 0.5\end{pmatrix}$$0.5$$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

$2/3$$2/3$$1/3$

$6$

$$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 1/6 & 5/6 \\ 5/6 & 1/6 \end{pmatrix}. \end{equation}$$ $0.5$$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

Dejando de lado la notación, la palabra "estacionaria" significa "una vez que llegue allí, se quedará allí"; mientras que la palabra "limitar" implica "eventualmente llegarás allí si vas lo suficientemente lejos". Solo pensé que esto podría ser útil.