Actualización (2019-06-25): cambio de título de "¿ Tienen sentido los modelos MA no invertibles?" para distinguirlo de la pregunta 333802 .

Mientras revisa MA ($q$) modelos, me encontré con estas diapositivas (Alonso y García-Martos, 2012). Los autores afirman que, si bien todos los procesos de MA son estacionarios, si no son invertibles, usted tiene

" La situación paradójica en la que el efecto de las observaciones pasadas aumenta con la distancia " .

Esto se puede ver en la descomposición del proceso MA (1):

$$y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}$$ dentro $$y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0,$$ donde claramente $|\theta|>1$se traduce en historia teniendo más y más influencia sobre el presente. Dos cosas sobre esto me molestan:

1. No es difícil imaginar una situación en la que haya un período de retraso único en los efectos de algo
2. Esta publicación validada cruzada tiene una respuesta que afirma:

"La invertibilidad no es realmente un gran problema porque casi cualquier modelo MA (q) no invertible gaussiano puede cambiarse a un modelo MA (q) invertible que represente el mismo proceso "

¿Es cierto que el efecto de las observaciones pasadas aumenta con la distancia? Si es así, ¿eso hace que los modelos no sean aptos para describir fenómenos del mundo real?

Actualización (2019-11-09) Encontré esto en el texto Análisis de series temporales y sus aplicaciones (Shumway y Stoffer, página 85) que también respalda el caso de que realmente no importa si un modelo de MA es no invertible, pero nosotros Es posible que desee elegir la versión no invertible del modelo por conveniencia.

No es un gran problema: es muy estacionario y se acerca al ruido blanco

Lo no invertible $\text{MA}(1)$el proceso tiene mucho sentido y no exhibe ningún comportamiento particularmente extraño. Tomando la versión gaussiana del proceso, para cualquier vector$\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$ consistente en observaciones consecutivas, tenemos $\mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$ con covarianza:

$$\mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \\ \end{bmatrix}.$$

Como puede ver, este es un proceso fuertemente estacionario, y las observaciones que están a más de un retraso son independientes, incluso cuando $|\theta|>1$. Esto no es sorprendente, en vista del hecho de que tales observaciones no comparten ninguna influencia del proceso de ruido blanco subyacente. No parece haber ningún comportamiento en el que "las observaciones pasadas aumenten con la distancia", y la ecuación que usted ha establecido no establece esto (ver más abajo para una discusión más detallada).

De hecho, como $|\theta| \rightarrow \infty$(que es el caso más extremo del fenómeno que está considerando) el modelo se reduce asintóticamente a un proceso trivial de ruido blanco. Esto es completamente sorprendente, en vista del hecho de que un coeficiente grande en el primer término de error rezagado domina el coeficiente unitario en el término de error concurrente, y desplaza el modelo asintóticamente hacia la forma$y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1}$, que es solo una versión escalada y modificada del proceso de ruido blanco subyacente.

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Una nota sobre su ecuación: en la ecuación de su pregunta, escribe el valor actual de la serie de tiempo observable como una suma geométrica creciente de valores pasados, más los términos de error restantes. Esto se afirma para mostrar que "el efecto de las observaciones pasadas aumenta con la distancia". Sin embargo, la ecuación implica una gran cantidad de términos de cancelación. Para ver esto, expandamos los términos observables pasados ​​para mostrar la cancelación de términos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

We can see from this expansion that the geometrically increasing sum of past values of the observable time series is there solely to get the previous error term:

$$\epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0.$$

All that is happening here is that you are trying to express the previous error term in an awkward way. The fact that a long cancelling sum of geometrically weighted values of the series is equal to the desired error term does not demonstrate that past observations are having "an effect" on the present time-series value. It merely means that if you want to express $\epsilon_{t-1}$ in terms of $\epsilon_0$ then the only way you can do it is to add in the geometrically weighted sum of the observable series.

I don't think it makes sense to ask for an example "from the real world where they [non-invertible MA models] occur". All you observe is $y_1,y_2,\dots,y_n$. As I try to explain in the post you link to, the joint distribution of these data can almost always (except in the case were the MA polynomial has one or more unit roots) be identically modelled as generated by either a number of non-invertible MA models or by a corresponding invertible MA model. Based on the data alone, there is therefore no way of knowing if the "real world" underlying mechanism corresponds to that of a non-invertible or invertible model. And ARIMA models are anyhow not intended as mechanistic models of the data-generating process in the first place.

So this just boils down to restricting the parameter space to that of invertible models to make the model identifiable with the added benefit of having a model that is easily put into AR$(\infty)$ form.