¿El valor absoluto de una serie estacionaria también es estacionario?

Sé que las transformaciones lineales de series temporales que surgen de procesos estacionarios (débilmente) también son estacionarias. ¿Es esto cierto, sin embargo, para una transformación de una serie a través de tomar también el valor absoluto de cada elemento? En otras palabras, si es estacionario, entonces también es estacionario?$\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$$\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$

En un caso particular, esto es algo cierto:

Si su serie temporal es estacionaria con un error distribuido normalmente, entonces los valores absolutos de su serie temporal original siguen una distribución normal doblada estacionaria. Dado que incluso la estacionariedad débil significa que tanto la media como la varianza son constantes en el tiempo, los valores absolutos también serán estacionarios. Para otras distribuciones, esto significa que los valores absolutos de la serie de tiempo original son al menos débilmente estacionarios, ya que la variación constante de los valores originales se traduce en una media constante de los nuevos valores.

Sin embargo, si su serie de tiempo original solo tiene una media constante, la varianza puede cambiar con el tiempo, lo que afectará la media de los valores absolutos. Por lo tanto, los valores absolutos no serán (débilmente) estacionarios.

Una respuesta más general requeriría un estudio del momento que genera la función del valor absoluto de una variable aleatoria. Quizás alguien con más conocimientos matemáticos pueda responder eso.

Dejar $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ ser una serie de tiempo donde $X_n$ es una variable aleatoria discreta que toma valores $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ con igual probabilidad $\frac 14$. Se verifica fácilmente que$E[X_n] = 0$ y

Para el proceso débilmente estacionario descrito anteriormente, el proceso $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$no es débilmente estacionario porque $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$no es una constante como se necesita para la estacionariedad débil (aunque es cierto que la función de autocorrelación$E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ es una función de $n$ solo).

Por otro lado, como señaló @bananach en un comentario sobre la pregunta principal, si la estacionariedad se interpreta como estacionariedad estricta , entonces la estacionariedad estricta de$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implica que $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$También es un proceso estrictamente estacionario. Los procesos estrictamente estacionarios con varianza finita también son procesos débilmente estacionarios y, por lo tanto, para esta subclase, es cierto que la estacionariedad débil de$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implica estacionariedad débil de $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$. Pero, como se describe en la primera parte de esta respuesta, no siempre se puede concluir que la estacionariedad débil de$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implica estacionariedad débil de $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$.

La respuesta es no. Esto se puede ver considerando una secuencia de r.vs. independientes$X_i$con su distribución marginal tomada en una familia paramétrica dependiendo de tres parámetros. Para obtener un ejemplo genérico, podemos considerar una distribución que se puede volver a parametrizar utilizando los dos primeros momentos junto con el momento absoluto$\mathbb{E}[|X|]$. Entonces podemos mantener constantes los dos primeros parámetros mientras que el tercero $\mathbb{E}[|X_i|]$ depende de $i$.

Como ejemplo específico, podemos tomar una distribución discreta con soporte $\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$; los tres momentos $\mathbb{E}[X]$, $\mathbb{E}[X^2]$ y $\mathbb{E}[|X|]$ expresarse como combinaciones lineales de las cuatro probabilidades $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$. Dado que las tres combinaciones lineales son linealmente independientes, podemos usar los tres momentos para volver a parametrizar como se desee.

Como han demostrado varios otros, la estacionariedad débil no permanece necesariamente cuando se toma el valor absoluto de la serie temporal. La razón de esto es que tomar el valor absoluto de cada elemento de la serie temporal puede cambiar la media y la varianza de manera no uniforme, debido a las diferencias en las distribuciones subyacentes de los valores. Aunque débil estacionariedad no transfiere más de esta manera, es destacable que fuerte estacionariedad no permanecen bajo la transformación de valor absoluto.