Encontrar una manera de simular números aleatorios para esta distribución

Estoy tratando de escribir un programa en R que simule números pseudoaleatorios de una distribución con la función de distribución acumulativa:

$$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$$

donde $a,b>0, p \in (0,1)$

Intenté el muestreo de transformación inversa pero el inverso no parece ser analíticamente solucionable. Me alegraría si pudiera sugerir una solución a este problema

Hay una solución directa (y si puedo agregar, elegante) a este ejercicio: dado que $1-F(x)$ aparece como un producto de dos distribuciones de supervivencia:

$$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$$ $F$ $$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$$ $F_1$$\mathcal{E}(a)$$F_2$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$

El código R asociado es tan simple como parece

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

y definitivamente es mucho más rápido que el pdf inverso y las resoluciones de aceptar-rechazar:

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163 

con un ajuste sorprendentemente perfecto:

Siempre puede resolver numéricamente la transformación inversa.

A continuación, hago una búsqueda de bisección muy simple. Para una probabilidad de entrada dada (uso ya que ya tiene una en su fórmula), comienzo con y . Luego doblo hasta que . Finalmente, bisecciono iterativamente el intervalo hasta que su longitud es más corta que y su punto medio satisface .$q$$q$$p$$x_L=0$$x_R=1$$x_R$$F(x_R)>q$$[x_L,x_R]$$\epsilon$$x_M$$F(x_M)\approx q$

El ECDF se ajusta a su suficientemente bien como para mis elecciones de y , y es razonablemente rápido. Probablemente podría acelerar esto usando alguna optimización de tipo Newton en lugar de la simple búsqueda de bisección.$F$$a$$b$

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

Existe una resolución un tanto intrincada si directa por aceptar-rechazar. Primero, una diferenciación simple muestra que el pdf de la distribución es Segundo, ya que tenemos el límite superior Tercero, considerando el segundo término en , tome el cambio de la variable , es decir, . Entonces es el jacobiano del cambio de variable. Si

$$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$$ $$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$$ $$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$ $g$$\xi=x^{p+1}$$x=\xi^{1/(p+1)}$ $$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$$ $X$tiene una densidad de la forma donde es la constante de normalización, entonces tiene la densidad que significa que (i) es distribuido como una variante exponencial y (ii) la constante es igual a uno. Por lo tanto, termina siendo igual a la mezcla igualmente ponderada de una distribución Exponencial y la potencia de una Exponencial$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$\kappa$$\Xi=X^{1/(p+1)}$ $$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$$ $\Xi$$\mathcal{E}(b/(p+1))$$\kappa$$g(x)$$\mathcal{E}(a)$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$distribución, módulo una constante multiplicativa faltante de para tener en cuenta los pesos: Y es fácil de simular como una mezcla.$2$ $$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$$ $g$

Una representación R del algoritmo de aceptación-rechazo es así

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

y para una muestra n:

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

Aquí hay una ilustración para a = 1, b = 2, p = 3: