Problema de optimizacion

Un amigo mío vende modelos de licuadoras. Algunos de los mezcladores son muy simples y baratos, otros son muy sofisticados y más caros. Sus datos consisten, para cada mes, en los precios de cada licuadora (que son fijados por él) y el número de unidades vendidas para cada modelo. Para establecer alguna notación, él sabe por meses los vectores $k$ $j=1,\dots,n$

(p_{1 j}, \dots, p_{k j}) and (n_{1 j}, \dots, n_{k j}),

$(p_{1j},\dots,p_{kj}) \qquad \textrm{and} \qquad (n_{1j},\dots,n_{kj}) \, ,$ donde

p_{i j}

$p_{ij}$ es el precio del modelo de licuadora

i

$i$ durante el mes

j

$j$ , y

n_{i j}

$n_{ij}$ es el número de unidades vendidas del modelo de licuadora

i

$i$ durante el mes

j

$j$ .

Con los datos, quiere determinar los precios $(p^*_1,\dots,p^*_k)$ que maximizan el valor de sus ventas futuras esperadas.

Tengo algunas ideas sobre cómo comenzar a modelar este problema con algún tipo de regresión de Poisson, pero realmente no quiero reinventar la rueda. También sería bueno demostrar que el máximo deseado existe bajo ciertas condiciones. ¿Podría alguien darme consejos sobre la literatura de este tipo de problema?

optimization zen
fuente

¡ Realmente me gustaría escuchar la razón detrás del voto negativo sobre esta pregunta! La única posibilidad que puedo imaginar en este momento es que había cierta preocupación sobre cuál podría ser la naturaleza estadística de esta pregunta. Sin embargo, me parece claro que hay un componente estadístico dado que los datos de ventas pueden verse como recuentos aleatorios de alguna distribución subyacente. Supongo que una edición que dibuje este punto un poco más claramente podría ayudar. Pero, mis comentarios aquí son bastante especulativos. (+1)

cardenal

Tks, cardenal. Lo editaré en los próximos días y agregaré información que aclarará los aspectos de inferencia de la solución.

Zen

Respuestas:

Suponga que hay una función que toma los precios, , de todos los mezcladores y devuelve el número de ventas, . Entonces, el problema es: $f(\cdot)$ $\vec{p}$ $k$ $\vec{n}$

\underset{\vec{pag}}{\arg max} {\vec{pag}}^{T} F (\vec{pag})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max}\;\; \vec{p}^T f(\vec{p})$

La solución a este problema dependerá de los supuestos que desee hacer. Me gustaría ir con el modelo más simple que se me ocurra, primero. Supongamos que el número de ventas de una licuadora depende solo de su propio precio y no de los precios de otros. Es decir, el número de ventas de cada licuadora es independiente. Esta suposición nos permite dividir la función de valor vectorial en funciones escalares. Tenemos $f(\cdot)$ $k$ , y el problema se convierte en: $f_i:p \mapsto n,\;\;i=1,\dots,12$

\underset{\vec{pag}}{\arg max} \sum_{yo = 1}^{k} {pag}_{yo} F_{yo} ({pag}_{yo})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max} \sum_{i=1}^k p_i f_i(p_i)$

Ahora tenemos que asumir un modelo para . Podemos intentar nuevamente una forma simple (lineal): . Para cada licuadora, puede estimar los parámetros ( ) de esta función utilizando los datos históricos de ventas. Una vez que se calculan, optimizar la función de costos anterior debe ser sencillo y le dará los precios óptimos que está buscando. $f_i(\cdot)$ $f_i(p) = \alpha_i p + \beta_i$ $\alpha_i, \beta_i$

Como mencionó en su publicación, también puede asumir un modelo de Poisson para . $f(\cdot)$

$f(\cdot)$

emrea
fuente