¿Cómo demostrar que la función de base radial es un núcleo?

Cómo demostrar que la función de base radial $k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$es un núcleo? Por lo que yo entiendo, para probar esto tenemos que probar cualquiera de los siguientes:

1. Para cualquier conjunto de vectores $x_1, x_2, ..., x_n$ de la matriz $K(x_1, x_2, ..., x_n)$ = $(k(x_i, x_j))_{n \times n}$ es semidefinida positiva.

2. Un mapeo $\Phi$ puede ser presentado como $k(x, y)$ = $\langle\Phi(x), \Phi(y)\rangle$ .

¿Alguna ayuda?

Zen utilizó el método 1. Aquí está el método 2: Mapee $x$ a una distribución gaussiana esféricamente simétrica centrada en $x$ en el espacio de Hilbert $L^2$ . La desviación estándar y un factor constante tienen que ajustarse para que esto funcione exactamente. Por ejemplo, en una dimensión,

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\exp[-(x-z)^2/(2\sigma^2)]}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \frac{\exp[-(y-z)^2/(2 \sigma^2)}{\sqrt{2 \pi} \sigma} dz = \frac{\exp [-(x-y)^2/(4 \sigma^2)]}{2 \sqrt \pi \sigma}.$$

Entonces, use una desviación estándar de y la escala de la distribución de Gauss para obtenerk(x,y)=⟨Φ(x),Φ(y)⟩. Este último cambio de escala se produce porque lanormaL2de una distribución normal no es1en general.$\sigma/\sqrt 2$$k(x,y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$$L^2$$1$

Usaré el método 1. Verifique la respuesta de Douglas Zare para una prueba usando el método 2.

Voy a probar el caso cuando son números reales, por lo que k ( x , y ) = exp ( - ( x - y ) 2 / 2 σ 2 ) . El caso general sigue mutatis mutandis del mismo argumento, y vale la pena hacerlo.$x,y$$k(x,y)=\exp(-(x-y)^2/2\sigma^2)$

$\sigma^2=1$

$k(x,y)=h(x-y)$

$$h(t)=\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)=\mathrm{E}\left[e^{itZ}\right]$$ $Z$$N(0,1)$

$x_1,\dots,x_n$$a_1,\dots,a_n$

$$\sum_{j,k=1}^n a_j\,a_k\,h(x_j-x_k) = \sum_{j,k=1}^n a_j\,a_k\,\mathrm{E} \left[ e^{i(x_j-x_k)Z}\right] = \mathrm{E} \left[ \sum_{j,k=1}^n a_j\,e^{i x_j Z}\,a_k\,e^{-i x_k Z}\right] = \mathrm{E}\left[ \left| \sum_{j=1}^n a_j\,e^{i x_j Z}\right|^2\right] \geq 0 \, ,$$ $k$

Para comprender este resultado con mayor generalidad, consulte el Teorema de Bochner: http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function

$\mathcal X$$\varphi$

• $\kappa$$\gamma \kappa$$\gamma > 0$

  $\varphi$$\kappa$$\sqrt\gamma \varphi$$\gamma \kappa$

• $\kappa_1$$\kappa_2$$\kappa_1 + \kappa_2$

  $\varphi_1$$\varphi_2$$x \mapsto \begin{bmatrix}\varphi_1(x) \\ \varphi_2(x)\end{bmatrix}$

• $\kappa_1, \kappa_2, \dots$$\kappa(x, y) := \lim_{n \to \infty} \kappa_n(x, y)$$x, y$$\kappa$

  Prueba: Para cada y cada tenemos que . Tomar el límite como da la misma propiedad para .$m, n \ge 1$$\{ (x_i, c_i) \}_{i=1}^m \subseteq \mathcal{X} \times \mathbb R$$\sum_{i=1}^m c_i \kappa_n(x_i, x_j) c_j \ge 0$$n \to \infty$$\kappa$

• Productos: Si y son núcleos pd, también lo es .$\kappa_1$$\kappa_2$$g(x, y) = \kappa_1(x, y) \, \kappa_2(x, y)$

  Prueba: se deduce inmediatamente del teorema del producto Schur , pero Schölkopf y Smola (2002) dan la siguiente prueba agradable y elemental. Deje sea ​​independiente. Así, Las matrices de covarianza deben ser psd, por lo que considerar la matriz de covarianza de prueba.

  $$(V_1, \dots, V_m) \sim \mathcal{N}\left( 0, \left[ \kappa_1(x_i, x_j) \right]_{ij} \right) \\ (W_1, \dots, W_m) \sim \mathcal{N}\left( 0, \left[ \kappa_2(x_i, x_j) \right]_{ij} \right)$$ $$\mathrm{Cov}(V_i W_i, V_j W_j) = \mathrm{Cov}(V_i, V_j) \,\mathrm{Cov}(W_i, W_j) = \kappa_1(x_i, x_j) \kappa_2(x_i, x_j).$$ $(V_1 W_1, \dots, V_n W_n)$

• Potencias: si es un núcleo pd, también lo es para cualquier entero positivo .$\kappa$$\kappa^n(x, y) := \kappa(x, y)^n$$n$

  Prueba: inmediata de la propiedad "productos".

• Exponentes: Si es un núcleo pd, también lo es .$\kappa$$e^\kappa(x, y) := \exp(\kappa(x, y))$

  Prueba: tenemos ; use las propiedades "poderes", "escalas", "sumas" y "límites".$e^\kappa(x, y) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{n!} \kappa(x, y)^n$

• Funciones: Si es un núcleo pd , es.$\kappa$$f : \mathcal X \to \mathbb R$$g(x, y) := f(x) \kappa(x, y) f(y)$

  Prueba: utilice el mapa de funciones .$x \mapsto f(x) \varphi(x)$

Ahora, tenga en cuenta que Comience con el núcleo lineal , aplique "scalings" con , aplique "exponentes" y aplique "funciones" con .

$$\begin{align*} k(x, y) &= \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x - y \rVert^2 \right) \\&= \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x \rVert^2 \right) \exp\left( \tfrac{1}{\sigma^2} x^T y \right) \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert y \rVert^2 \right) .\end{align*}$$ $\kappa(x, y) = x^T y$$\frac{1}{\sigma^2}$$x \mapsto \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x \rVert^2 \right)$