¿Intenta calcular el índice de Gini en la distribución de reputación de StackOverflow?

Estoy tratando de calcular el índice de Gini en la distribución de reputación SO usando SO Data Explorer. La ecuación que intento implementar es la siguiente: Donde: = número de usuarios en el sitio; = ID de serie del usuario (1 - 1,225,000); = reputación del usuario .

Así es como lo implementé (copiado de aquí ):

DECLARE @numUsers int
SELECT @numUsers = COUNT(*) FROM Users
DECLARE @totalRep float
SELECT @totalRep = SUM(Users.Reputation) FROM Users
DECLARE @giniNominator float
SELECT @giniNominator = SUM( (@numUsers + 1 - CAST(Users.Id as Float)) * 
                              CAST(Users.Reputation as Float)) FROM Users
DECLARE @giniCalc float
SELECT @giniCalc = (@numUsers + 1 - 2*(@giniNominator / @totalRep)) / @numUsers
SELECT @giniCalc

Mi resultado es (actualmente) -0.53, pero no tiene sentido: ni siquiera estoy seguro de cómo podría haberse vuelto negativo, e incluso en valor abs, hubiera esperado que la desigualdad estuviera mucho más cerca de 1, dada la reputación crece cuanto más lo tienes.

¿Estoy ignorando sin saberlo alguna suposición sobre la distribución de la reputación / usuarios?

¿Qué hago mal?

Aquí es cómo puede calcularlo con SQL:

with balances as (
    select '2018-01-01' as date, balance
    from unnest([1,2,3,4,5]) as balance -- Gini coef: 0.2666666666666667
    union all
    select '2018-01-02' as date, balance
    from unnest([3,3,3,3]) as balance -- Gini coef: 0.0
    union all
    select '2018-01-03' as date, balance
    from unnest([4,5,1,8,6,45,67,1,4,11]) as balance -- Gini coef: 0.625
),
ranked_balances as (
    select date, balance, row_number() over (partition by date order by balance desc) as rank
    from balances
)
SELECT date, 
    -- (1 − 2B) https://en.wikipedia.org/wiki/Gini_coefficient
    1 - 2 * sum((balance * (rank - 1) + balance / 2)) / count(*) / sum(balance) AS gini
FROM ranked_balances
GROUP BY date
ORDER BY date ASC
-- verify here http://shlegeris.com/gini

La explicación está aquí https://medium.com/@medvedev1088/calculating-gini-coefficient-in-bigquery-3bc162c82168

No puedo leer el SQLcódigo muy fácilmente, pero si me ayuda, si fuera a calcular el coeficiente de Gini, esto es lo que haría (en inglés).

1. Calcule el de (es decir, el número de personas con rep en SO)$n$$x$
2. Ordenar de menor a mayor$x$
3. Suma cada multiplicado por su orden en el rango (es decir, si hay 10 personas, el representante de la persona con el representante más bajo se multiplica por 1 y el representante de la persona con el representante más alto se multiplica por 10)$x$
4. Tome ese valor y divídalo por el producto de y la suma de (es decir, rep) y luego multiplique ese resultado por 2x n × $n$$x$$n \times \sum$
5. Tome ese resultado y reste el valor de .$1-(1/n)$
6. Voila!

Tomé esos pasos del código notablemente directo en la Rfunción (en el paquete ineq ) para calcular el coeficiente de Gini. Para el registro, aquí está ese código:

> ineq::Gini
function (x) 
{
    n <- length(x)
    x <- sort(x)
    G <- sum(x * 1:n)
    G <- 2 * G/(n * sum(x))
    G - 1 - (1/n)
}
<environment: namespace:ineq>

Se ve algo similar a su SQLcódigo, pero como dije, ¡realmente no puedo leer eso muy fácilmente!

Hay, creo, cuatro formulaciones equivalentes del índice de Gini. Para mí, el más natural es una estadística U: donde es la media de 's. Puede verificar sus cálculos con esta fórmula. Obviamente, el resultado debe ser no negativo. Por lo que sé sobre los índices de Gini, la distribución de reputación en CV debería tener el índice de Gini por encima de 0.9; si 0.98 tiene mucho sentido o no, no puedo decirlo.μ

Agregando a la respuesta @smillig, basado en la ecuación provista:

SELECT something AS x into #t FROM sometable
SELECT *,ROW_NUMBER() OVER(ORDER BY x) AS i INTO #tt FROM #t
SELECT 2.0*SUM(x*i)/(COUNT(x)*SUM(x))-1.0-(1.0/COUNT(x)) AS gini FROM #tt

Me dio en mi conjunto de prueba:

0.45503253636587840

Que es lo mismo que las bibliotecas ineq de R Gini (x)