¿Por qué en cuadrados latinos se dice que las filas, tratamientos y columnas son ortogonales?

Siempre he escuchado "ortogonal" en el área de la geometría (también tenga en cuenta que no soy un hablante nativo de inglés). No entiendo lo siguiente para los cuadrados latinos (una cita de un libro de texto):

Cada tratamiento (ABCD) aparece una vez en cada fila. Por lo tanto, los tratamientos y las filas son ortogonales. ... Las filas y columnas son ortogonales a los tratamientos.

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

¿Qué se entiende por ortogonalidad aquí?

lo que significa o lo que hace el cuadrado latino

La ortogonalidad de las columnas y las filas significa que su efecto se está eliminando de los valores esperados para algún tratamiento (A, B, C, D).$i$$j$$k$

Vea la fórmula (para un modelo sin efectos cruzados)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

cuya expectativa para un cierto nivel de (A, B, C o D) se convierte en el siguiente$k$

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

siempre que el tratamiento no se correlacione (es ortogonal) con las filas y columnas.

el tratamiento para A (y de manera similar para B, C y D) se prueba la misma cantidad de veces en cada fila y, por lo tanto, puede eliminar (promedio) el efecto de la fila en el valor esperado del tratamiento A.

ortogonalidad

No estoy seguro de si este es el origen de la etimología, pero esto es lo que imagino con la ortogonalidad.

En el ejemplo, tiene las siguientes pruebas (columna, fila, tratamiento):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

si toma esto como una matriz y calcula entonces obtiene en los elementos no diagonales una suma de productos en los que cada término aparece el mismo número de veces.$M$$M^TM$

por ejemplo, el producto de la primera y tercera columna $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

y esta propiedad puede estar asociada con la ortogonalidad de columnas en una matriz