Simplifique la suma de combinaciones con el mismo n, todos los valores posibles de k

¿Hay alguna manera de simplificar esta ecuación?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

O más generalmente,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics Idr
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Una tienda de helados fabrica helados sin sabor y luego agrega uno o más de 5 concentrados de sabor (vainilla, chocolate, dulce de azúcar, menta, jamoca) para crear los diversos helados disponibles para la venta en la tienda. Entonces, el número de sabores diferentes es

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ . Intenta calcular la cantidad de sabores a mano. Para obtener crédito adicional, identifique la tienda.

Dilip Sarwate

Respuestas:

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

que dice

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Puede probar esto usando el teorema binomial donde . $x=y=1$

Ahora, dado que para cualquier , se deduce que $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

En su caso , entonces la respuesta es . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

Macro
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Gracias. Estaba tratando de descubrir todos los posibles conjuntos de características de entrada para una regresión, así que mi mente comienza con las estadísticas, pero supongo que esta pregunta no es estadística per se.

Idr

No hay problema. Considere la posibilidad de votar y / o aceptar las respuestas que haya encontrado útiles :)

Macro

Por supuesto. También creo que tu yo debería ser k.

Idr

tienes razón, arreglado.

Macro

Una manera fácil de ver esto es: tomará cada elemento (1) o no (0). Por lo tanto, puede representar todos los números binarios con n bits: 2 ^ n. Y esto equivale a todas las combinaciones con un elemento eliminado, más todas las combinaciones con 2 elementos eliminados, y así sucesivamente .. = suma de C (k / N).

Snicolas

¿Deberes?

Insinuación:

Recuerda el teorema binomial:

(X + y)^{norte} = \sum_{k = 0 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) X^{k} y^{norte - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

Ahora, si pudieras encontrar x e y para que sea constante ... $x^ky^{n-k}$

Erik
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