¿Este artículo del NYT supone incorrectamente incrementos independientes?

El artículo traza, por cada 100 mujeres que usan cierto tipo de método anticonceptivo, la cantidad de embarazos no planificados a lo largo del tiempo.

https://www.nytimes.com/interactive/2014/09/14/sunday-review/unplanned-pregnancies.html?_r=0

En particular al final del artículo dicen:

Los números se calculan de la siguiente manera:

$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}) = \mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N$

De hecho, la tasa de éxito de la anticoncepción es probable que no esté embarazada en el año 1. Ver, por ejemplo, https://www.cdc.gov/reproductivehealth/contraception/unintendedpregnancy/pdf/contraceptive_methods_508.pdf

Esto es cierto si la probabilidad de embarazo en un año es independiente del año anterior, pero parece poco probable que sea cierto. Si usa la anticoncepción de la manera incorrecta, probablemente saldrá mal en el primer año, y si no lo hace, ¿entonces probablemente no saldrá mal el año siguiente?

Lo siento, no puedo estar de acuerdo con el supuesto de independencia. La fertilidad en las mujeres, incluso sin anticoncepción, es una función de la edad , de modo que sin anticoncepción

Posibilidades de quedar embarazada sin FIV (fertilización in vitro)

Starting at about age 32, a woman’s chances of conceiving decrease gradually but significantly.
From age 35, the fertility decline speeds up.
By age 40, fertility has fallen by half.
At 30, the chance of conceiving each month is about 20%. At 40 it’s around 5%.
Note (mine) after age ~49 menopause occurs and when it does, women are infertile.

La tasa de embarazo también es una función de la frecuencia de las relaciones sexuales , que también cambia con la edad:

About 5% of single women between the ages of 18 and 24 had sex 4 or more times per week, but 24% of married women did.
Like the men, just under half of the women between the ages of 25 and 59 had sex a few times per month to weekly, more than their single and partnered peers.
Sexual frequency did decrease with age for women, although almost a quarter of partnered women over age 70 had sex more than 4 times a week.

Tiempo relativo de ovulación, coito y edad femenina:

Finalmente, para considerar la efectividad de la anticoncepción en forma anualizada, se debe considerar no solo la disminución de la fertilidad y la frecuencia sexual variable, sino también la disminución de la frecuencia sexual con la edad, sino también muchos otros factores. Por ejemplo, el porcentaje de mujeres que son posparto aumenta con la edad, y las mujeres posparto pueden tener una efectividad de uso de anticonceptivos diferente a la edad nulípara de la pareja en el momento del coito en relación con la ovulación, ver imagen:

El momento de la relación sexual en relación con la ovulación, que tiene un gran impacto en la fertilidad, también se refleja en la probabilidad de embarazo incluso cuando se consideran otros factores, como la anticoncepción. Por lo tanto, una mujer que se basa en el método del ritmo, así como en uno o más métodos anticonceptivos, es decir, una mujer que conoce las funciones de su cuerpo y usa ese conocimiento (y a medida que se adquiere el conocimiento) puede eventualmente lograr una eficacia cada vez mayor. trabajo de evitar el embarazo, de modo que esencialmente no hay posibilidad de independencia de la fertilidad con la edad transcurrida.

Aquí hay una cuenta de las probabilidades relevantes para el problema en cuestión.

Denotamos por $z_n$ el evento 'no embarazo después $n$años 'para una mujer que usa algún tipo de anticonceptivo. Entonces

$$P(z_N) = P(z_N | z_{N-1}) P(z_{N-1} | z_{N-2})\cdots P(z_2 | z_1)P(z_1).$$ El problema es que el NYT asume $P(z_i | z_{i-1}) = P(z_1) = p$, para todos $i$, sabiendo $z_{i-1}$puede proporcionar evidencia de que la mujer hace un buen uso del método anticonceptivo y puede tener experiencia con él. Por lo tanto, debemos esperar que $$P(z_N | z_{N-1}) > P(z_{N-1} | z_{N-2}) > \cdots > P(z_1).$$ Esto implica $$P(\text{'at least 1 pregnancy after $N$ years'}) < 1-p^n$$ en lugar de la igualdad reclamada por el NYT.

Apéndice.(Presentación alternativa de la respuesta del usuario 385948)

Toda mujer $w$ utilizando un tipo particular de anticonceptivo, entre $M$ otra mujer, tiene su propia probabilidad fija $q_w$de no tener un embarazo no deseado en un año. La tasa promedio de éxito del anticonceptivo durante un año es$p =\tfrac{1}{M}\sum_w q_w$. La tasa de éxito promedio después$N$ años, asumiendo independencia año a año, es $\tfrac{1}{M}\sum_w q_w^N$. Sin embargo,

$$\tfrac{1}{M}\sum_w q_w^N \geq \left(\tfrac{1}{M}\sum_w q_w\right)^N = p^N,$$ por la desigualdad de Jensen, con igualdad si y solo si $q_w$ es constante sobre $w$.

Por lo tanto, en promedio, generalmente estrictamente menor que$(1-p^{10})\times 100$ una mujer de cada cien tendrá un embarazo no deseado durante un período de 10 años.

Desde una perspectiva probabilista, esperaría que

$$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}) \geq \mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N.$$ Esta expectativa está motivada de la siguiente manera. Supongamos que a tiempo$t=0$, a cada mujer se le asigna un número (potencialmente diferente) $p\in[0,1]$, la probabilidad de que quede embarazada en el primer año. Si ella no quedó embarazada después$k$ años, entonces la probabilidad de que quede embarazada en el $k+1$-el año es de nuevo $p$. Entonces$1-\mathbb{E}p$ es exactamente $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1}).$$ Queremos demostrar que $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N$$ es un límite inferior para $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}).$$ Pero, dado el número de mujeres y $$1-\mathbb{E}p=\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1}),$$ podemos optimizar los valores para $p$ de las mujeres individuales para minimizar $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}).$$ Hay un mínimo global, es "asignar $p' =\mathbb{E} p$ a cualquier mujer "(entonces $p'$es determinista), y para este mínimo tenemos igualdad (porque de hecho todo es independiente). Luego sigue la desigualdad. Para ilustrar esto con un ejemplo, supongamos que tenemos dos mujeres, que tienen$p=0$ y $p=1$. Entonces $$\frac{1}{2}=\mathbb P(\text{Not pregnant after year N})>\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N =\frac{1}{2^N}$$ para $N>1$.