¿Por qué el estimador OLS del coeficiente AR (1) está sesgado?

Estoy tratando de entender por qué OLS da un estimador sesgado de un proceso AR (1). Considere En este modelo, se viola la exogeneidad estricta, es decir, y están correlacionados pero y no están correlacionados. Pero si esto es cierto, ¿por qué no se cumple la siguiente derivación simple? ytεtyt-1εtPlim

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

Como se discutió esencialmente en los comentarios, la imparcialidad es una propiedad de muestra finita, y si la tuviera se expresaría

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

(donde el valor esperado es el primer momento de la distribución de muestras finitas)

mientras que la consistencia es una propiedad asintótica expresada como

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

El OP muestra que, aunque OLS en este contexto está sesgado, sigue siendo coherente.

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

No hay contradicción aquí.

@Alecos explica muy bien por qué una plim correcta e imparcialidad no son lo mismo. En cuanto a la razón subyacente por la cual el estimador no es imparcial, recuerde que la imparcialidad de un estimador requiere que todos los términos de error sean independientes de la media de todos los valores del regresor, .$E(\epsilon|X)=0$

En el presente caso, la matriz del regresor consta de los valores , de modo que - vea el comentario de mpiktas - la condición se traduce en E ( ϵ s | y 1 , ... , y T - 1 ) = 0 para todo s = 2 , ... , t .$y_1,\ldots,y_{T-1}$$E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$$s=2,\ldots,T$

Aquí tenemos

incluso bajo el supuesto E ( ϵ t y t - 1 ) = 0 tenemos que E ( ϵ t y t ) = E ( ϵ t ( β y t - 1 + ϵ t ) ) = E ( ϵ 2 t ) ≠ 0. Pero,

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ $E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ también es un regresor para valores futuros en un modelo AR, como y t + 1 = β y t + ϵ t + 1 .$y_t$$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

Ampliando en dos buenas respuestas. Escriba el estimador OLS:

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

Por imparcialidad necesitamos

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$$t$$\varepsilon_t$$y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$