Deje y ser procesos de ruido blanco. ¿Podemos decir que es necesariamente un proceso de ruido blanco?b t c t = a t + b $a_t$$b_t$$c_t=a_t+b_t$

No, necesitas más (al menos según la definición de ruido blanco de Hayashi). Por ejemplo, la suma de dos procesos independientes de ruido blanco es el ruido blanco.

¿Por qué $a_t$ y $b_t$ ruido blanco es insuficiente para que $a_t+b_t$ sea ​​ruido blanco?

Siguiendo la Econometría de Hayashi , un proceso estacionario de covarianza $\{z_t\}$ se define como ruido blanco si $\mathrm{E}[z_t] = 0$ y para .j ≠ $\mathrm{Cov}\left(z_t, z_{t-j} \right) = 0$$j \neq 0$

Deje que y sean procesos de ruido blanco. Defina . Trivialmente tenemos . Comprobación de la condición de covarianza:{ b t } c t = a t + b t E [ c t ] = $\{a_t\}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$\mathrm{E}[c_t] = 0$

{at}{bt}

Entonces, si es ruido blanco depende de si para todo .C o v ( a t , b t - j ) + C o v ( b t , a t - j ) = 0 j ≠ $\{c_t\}$$\mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) = 0$$j\neq 0$

Ejemplo donde la suma de dos procesos de ruido blanco no es ruido blanco:

Deje que sea ​​ruido blanco. Deje . Observe que el proceso también es ruido blanco. Deje , de ahí que , y observe que el proceso no es ruido blanco.$\{a_t\}$$b_t = a_{t-1}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$c_t = a_t + a_{t-1}$$\{c_t\}$

Incluso más simple que la respuesta de @ MatthewGunn,

Considere . Obviamente c t ≡ 0 no es ruido blanco, sería difícil llamarlo cualquier tipo de ruido.$b_t = -a_t$$c_t \equiv 0$

El punto más amplio es que, si no sabemos nada sobre la distribución conjunta de y b t , no podremos decir qué sucede cuando intentamos examinar objetos que dependen de ambos. La estructura de covarianza es esencial para este fin.$a_t$$b_t$

Apéndice:

¡Por supuesto, este es exactamente el propósito de los auriculares con cancelación de ruido! - para revertir la frecuencia de los ruidos externos y cancelarlos - entonces, volviendo a la definición física del ruido blanco, esta secuencia es un silencio literal . No hay ruido en absoluto.

En electrónica, el ruido blanco se define como tener un espectro de frecuencia plana ('blanco') y ser aleatorio ('ruido'). El ruido generalmente se puede contrastar con 'interferencia', una o más señales no deseadas que se recogen de otra parte y se agregan a la señal de interés, y 'distorsión', que se generan señales no deseadas de procesos no lineales que actúan sobre la señal de interés.

Si bien es posible que dos señales diferentes tengan partes correlacionadas y, por lo tanto, se cancelen de manera diferente en diferentes frecuencias o en diferentes momentos, por ejemplo, cancelando completamente en una determinada banda de frecuencias o durante un cierto intervalo de tiempo, pero luego no cancelando, o incluso agregando constructivamente sobre otra banda de frecuencias o durante un cierto intervalo de tiempo, la correlación entre las dos señales supone una correlación, que se ve impedida por el aspecto presumiblemente aleatorio de "ruido", que es lo que se preguntó.

Si, de hecho, las señales son 'ruido' y, por lo tanto, independientes y aleatorias, entonces esas correlaciones no deberían existir, por lo que sumarlas también tendrá un espectro de frecuencia plana y, por lo tanto, también será blanco.

Además, trivialmente, si los ruidos están exactamente correlacionados, entonces podrían cancelarse para dar salida cero en todo momento, que también tiene un espectro de frecuencia plana, potencia cero en todas las frecuencias, que podría caer bajo una especie de definición degenerada de blanco ruido, excepto que no es aleatorio y puede predecirse perfectamente.

El ruido en la electrónica puede provenir de varios lugares. Por ejemplo, el ruido de disparo, que surge de la llegada aleatoria de electrones en una fotocorriente (proveniente de los tiempos de llegada aleatorios de los fotones), y el ruido Johnson, proveniente del movimiento browniano de electrones en un elemento resistivo más cálido que el cero absoluto, ambos producen blanco ruido, aunque, siempre con un ancho de banda finito en ambos extremos del espectro en cualquier sistema real medido durante un período de tiempo finito.

si ambos sonidos de ruido blanco viajan en la misma dirección Y si su frecuencia está en fase emparejada, solo se suman. Pero, una cosa de la que no estoy seguro es que después de sumarlo permanecerá como ruido blanco o se convertirá en algún otro tipo de sonido que tenga una frecuencia diferente.