¿Dos cuantiles de una distribución beta determinan sus parámetros?

Si doy dos cuantiles y sus ubicaciones correspondientes (cada uno) en el intervalo abierto , ¿siempre puedo encontrar parámetros de una distribución beta que tenga esos cuantiles en las ubicaciones especificadas?$(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

La respuesta es sí, siempre que los datos satisfagan los requisitos de coherencia obvios. El argumento es sencillo, basado en una construcción simple, pero requiere cierta configuración. Se reduce a un hecho intuitivamente atractiva: incrementar el parámetro de en una Beta distribución aumenta el valor de su densidad (PDF) más para grandes que más pequeños ; y aumentar hace lo contrario: cuanto menor es , más aumenta el valor del PDF.$a$$(a,b)$$x$$x$$b$$x$

Los detalles siguen.

Deje que el deseado sea y el cuantil deseado sea con y (por lo tanto) . Luego hay y únicos para los cuales la distribución Beta tiene estos cuantiles.$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$$1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$a b ( a , b )$a$$b$$(a,b)$

La dificultad para demostrar esto es que la distribución Beta implica una constante de normalización recalcitrante. Recuerde la definición: para y , la distribución Beta tiene una función de densidad (PDF)$a\gt 0$$b \gt 0$$(a,b)$

La constante de normalización es la función Beta.

Todo se vuelve desordenado si tratamos de diferenciar directamente con respecto a y , que sería la forma de fuerza bruta para intentar una demostración.$f(x;a,b)$$a$$b$

Una forma de evitar tener que analizar la función Beta es notar que los cuantiles son áreas relativas . Es decir,

para . Aquí, por ejemplo, están el PDF y la función de distribución acumulativa (CDF) de una distribución Beta para la cual y .$i=1,2$$F$$(1.15, 0.57)$$x_1=1/3$$q_1=1/6$

La función de densidad se representa a la izquierda. es el área debajo de la curva a la izquierda de , que se muestra en rojo, en relación con el área total debajo de la curva. es el área a la izquierda de , igual a la suma de las regiones roja y azul, nuevamente en relación con el área total . El CDF de la derecha muestra cómo y marcan dos puntos distintos en él.$x\to f(x;a,b)$$q_1$x 1 q 2 x 2 ( x 1 , q 1 ) ( x 2 , q 2 )$x_1$$q_2$$x_2$$(x_1,q_1)$$(x_2,q_2)$

En esta figura, se establece en , fue seleccionado para ser , y luego un valor de se encontró para los que se encuentra en la Beta CDF.$(x_1,q_1)$$(1/3,1/6)$$a$$1.15$$b$$(x_1,q_1)$$(a,b)$

Lema : Tal siempre se puede encontrar.$b$

Para ser específico, deje que una vez por todas. (Se mantienen igual en las siguientes ilustraciones: en los tres casos, el área relativa a la izquierda de es igual a .) Para cualquier , el Lema afirma que hay un valor único de , escrito para el cual es el cuantil de la distribución Beta .$(x_1, q_1)$$x_1$$q_1$$a\gt 0$$b$$b(a),$$x_1$$q_1$$(a,b(a))$

Para ver por qué, observe primero que cuando aproxima a cero, toda la probabilidad se acumula cerca de los valores de , de donde aproxima a . Cuando acerca al infinito, toda la probabilidad se acumula cerca de los valores de , de donde aproxima a . En el medio, la función aumenta estrictamente en .$b$$0$$F(x_1;a,b)$$1$$b$$1$$F(x_1;a,b)$$0$$b\to F(x_1;a,b)$$b$

Esta afirmación es geométricamente obvia: equivale a decir que si miramos el área a la izquierda debajo de la curva relación con el área total debajo la curva y compárelo con el área relativa debajo de la curva para , entonces la última área es relativamente más grande La relación de estas dos funciones es . Esta es una función igual a cuando cayendo constantemente a cuando Por lo tanto, las alturas de la función son relativamente más grandes$x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$$b^\prime \gt b$$(1-x)^{b^\prime-b}$$1$$x=0,$$0$$x=1.$$x\to f(x;a,b^\prime)$que las alturas de para a la izquierda de de lo que son para a la derecha de En consecuencia, el área a la izquierda de en el primero debe ser relativamente más grande que el área a la derecha de (Esto es fácil de traducir en un argumento riguroso usando una suma de Riemann, por ejemplo).$x\to f(x;a,b)$$x$$x_1$$x$$x_1.$$x_1$$x_1.$

Hemos visto que la función aumenta estrictamente monotónicamente con valores limitantes en y como y respectivamente. También es (claramente) continuo. En consecuencia, existe un número donde y ese número es único, lo que demuestra el lema.$b\to f(x_1;a,b)$$0$$1$$b\to 0$$b\to\infty,$$b(a)$$f(x_1;a,b(a))=q_1$

El mismo argumento muestra que a medida que aumenta, el área a la izquierda de aumenta. $b$$x_2$ Por consiguiente, los valores de rango sobre un cierto intervalo de números como progresa desde casi a casi El límite de como es$f(x_2;a, b(a))$$a$$0$$\infty.$$f(x_2;a,b(a))$$a\to 0$$q_1.$

Aquí hay un ejemplo donde está cerca de (es igual a ). Con y (como en la figura anterior), Casi no hay área entre y$a$$0$$0.1$$x_1=1/3$$q_1=1/6$$b(a) \approx 0.02.$$x_1$$x_2:$

El CDF es prácticamente plano entre y donde está prácticamente encima de En el límite como ,$x_1$$x_2,$$q_2$$q_1.$$a\to 0$$q_2 \to q_1.$

En el otro extremo, valores suficientemente grandes de derivación a arbitrariamente cerca de Aquí hay un ejemplo con como antes.$a$$F(x_2;a,b(a))$$1.$$(x_1,q_1)$

Aquí y es casi Ahora es esencialmente no hay casi ninguna área a la derecha de$a=8$$b(a)$$10.$$F(x_2;a,b(a))$$1:$$x_2.$

En consecuencia, puede seleccionar cualquier entre y y ajustar hasta Al igual que antes, esto debe ser único, QED .$q_2$$q_1$$1$$a$$F(x_2;a,a(b))=q_2.$$a$

El Rcódigo de trabajo para encontrar soluciones se publica en Determinación de los parámetros de distribución beta y desde dos puntos arbitrarios (cuantiles)$\alpha$$\beta$ .